Skip to main content

Full text of "Euklids Elementer I.-II. oversat af T. Eibe"

See other formats


Google 



This is a digital copy of a book that was prcscrvod for generations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project 

to make the world's books discoverablc online. 

It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject 

to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books 

are our gateways to the past, representing a wealth of history, cultuie and knowledge that's often difficult to discover. 

Marks, notations and other maiginalia present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journey from the 

publisher to a library and finally to you. 

Usage guidelines 

Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain lx)oks l>elong to the 
public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we liave taken steps to 
prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automatcd querying. 
We also ask that you: 

+ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use these files for 
person al, non-commercial purposes. 

+ Refrainfivm automated querying Do nol send aulomated queries of any sort to Google's system: If you are conducting research on machine 
translation, Optical character recognition or other areas where access to a laige amount of text is helpful, please contact us. We encourage the 
use of public domain materials for these purposes and may t« able to help. 

+ Maintain attributionTht GoogX'S "watermark" you see on each file is essential for informingpeopleabout this project and helping them find 
additional materials tlirough Google Book Search. Please do not remove it. 

+ Keep it legal Whatever your use, remember that you are lesponsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just 
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other 
countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can'l offer guidance on whether any specific use of 
any specific book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner 
anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite seveie. 

About Google Book Search 

Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps rcaders 
discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full icxi of ihis book on the web 

at |http : //books . google . com/| 



Google 



Dette er en digital kopi af en bog, der har været bevaret i generationer på bibliotekshylder, før den omhyggeligt er scannet af Google 

som del af et projekt, der går ud på at gøre verdens bøger tilgængelige online. 

Den har overlevet længe nok til, at ophavsretten er udløbet, og til at bogen er blevet offentlig ejendom. En offentligt ejet bog er en bog, 

der aldrig har været underlagt copyright, eller hvor de juridiske copyright vilkår er udløbet. Om en bog er offentlig ejendom varierer fra 

land til land. Bøger, der er offentlig ejendom, er vores indblik i fortiden og repræsenterer en rigdom af historie, kultur og viden, der 

ofte er vanskelig at opdage. 

Mærker, kommentarer og andre marginalnoter, der er vises i det oprindelige bind, vises i denne fil - en påmindelse om denne bogs lange 

rejse fra udgiver til et bibliotek og endelig til dig. 

Retningslinjer for anvendelse 

Google er stolte over at indgå partnerskaber med biblioteker om at digitalisere offentligt ejede materialer og gøre dem bredt tilgængelige. 
Offentligt ejede bøger tilhører alle og vi er blot deres vogtere. Selvom dette arbejde er kostbart, så har vi taget skridt i retning af at 
forhindre misbrug fra kommerciel side, herunder placering af tekniske begrænsninger på automatiserede forespørgsler for fortsat at 
kunne tilvejebringe denne kilde. 
Vi beder dig også om følgende: 

• Anvend kun disse filer til ikkc-konnnerdolt brug 

Vi designede Google Bogsøgning til enkeltpersoner, og vi beder dig om at bruge disse filer til personlige, ikke-kommercielle formål. 

• Undlad at bruge automatiserede forespørgsler 

Undlad at sende automatiserede søgninger af nogen som helst art til Googles system. Hvis du foretager undersøgelse af m;iskl- 
noversættelse, optisk tegngenkendelse eller andre områder, hvor adgangen til store mængder tekst er nyttig, bør du kontakte os. 
Vi opmuntrer til anvendelse af offentligt ejede materialer til disse formål, og kan måske hjælpe. 

• Bevar tilegnelse 

Det Google- "vandmærke" du ser på hver fil er en vigtig måde at fortælle mennesker om dette projekt og hjælpe dem med at finde 
yderligere materialer ved brug af Google Bogsøgning. Lad være med at fjerne det. 

• Overhold reglerne 

Uanset hvad du bruger, skal du huske, at du er ansvarlig for at sikre, at dot du gør er lovligt. Antag ikke, at bare fordi vi tror, 
at en bog er offentlig ejendom for brugere i USA, at værket også er offentlig ejendom for brugere i andre lande. Om en bog 
stadig er underlagt copyright varierer fra land til land, og vi kan ikke tilbyde vejledning i, om en bestemt anvendelse af en bog er 
tilladt. Antag ikke at en bogs tilstedeværelse i Google Bogsøgning betyder, at den kan bruges på enhver måde overalt i verden. 
Erstatningspligten for krænkelse af copyright kan være ganske alvorlig. 

Om Google Bogsøgning 

Det er Googles mission at organisere alverdens oplysninger for at gøre dem almindeligt tilgængelige og nyttige. Google Bogsøgning 
hja^lper læsere med at opdage alverdens bøger, samtidi g med at det hjælper forfatter e og udgivere med at nå nye målgrupper. Du kan 
søge gcnnom hele teksten i denne bog på interncttct på |http : //hooks . google ■ com| 



^^^o 




EUKLIDS ELEMENTER 



I-II 



OVERSAT AF 



THYRA EIBE 

CAND. MAG. 



Med en Indledning af Prof., Dr. H. G. Zeuthen 




KØBENHAVN 

GYLDENDALSKE BOGHANDELS FORLAG (F. HEGEL & SØN) 
Trykt hos J. Jørgensen & Co. (M. A. Hannover \ 

t p ' 




W Y •" f^ K 

LIS. ...,, 

5 16 

ENOX AND 
UNDATIONS. 

900. L 



» * • to * 

«, • • 

k « • 

* > 



FORORD. 



c/ 



^ 



o 
o 



6> 



Ved denne Oversættelse af Euklids to første 
Bøger har jeg nøje fulgt den nyeste græske Ud- 

^ gave (ved Heiberg 1883); kun har jeg indført 
Plustegn, Lighedstegn og Tegn for Vinkel, Tre- 
kant, Parallelogram, Rektangel og Kvadrat. Dette 
strider dog ikke mod den græske Form, da 
Euklid ogsaa bruger Forkortelser. Saaledes 
hedder f. Eks. Vinkelen ABC paa Græsk 7)vnb 
ABF (udeladt ^^wWo). Desuden har jeg ligesom 
Professor Heiberg i den latinske Oversættelse i 
anden Bog tilføjet de til de geometriske Sæt- 

V) ninger svarende algebraiske Formler. 

> 
/ 



IV 

Til Slut vil jeg takke Professorerne H. G. 
Zeuthen og J. L. Heiberg samt Docent A. B. 
Drachmann for den gode Hjælp, jeg har faaet 
af dem under Arbejdet. 

Kjøbenhavn, d. 15de Maj 1897. 

Thyra Eibe. 



INDLEDNING. 



Mathematikeren Euklid levede og virkede 
omtrent 300 Aar før Chr. i Alexandria, som den 
Gang var Midtpunktet for Grækernes aandelige 
Liv, og hvor lærelystne Ynglinge samledes fra 
de mange Egne, hvor det græske Folk havde 
nedsat sig. Han har givet yderst værdifulde 
Bidrag til sit Fags videre Udvikling ; men frem- 
for alt mindes han som den, der har samlet 
sin Tids elementære Mathematik til en sammen- 
hængende Lærebygning. Det er denne, som inde- 
holdes i hans af 13 Bøger bestaaende Værk: 
Euklids Elementer, 

Ved sine omfattende Synsmaader og ved 
den Fuldstændighed og store Nøjagtighed, hvor- 
med disse vare gennemførte, fortrængte Euklids 
sikre Tankebygning snart alle Arbejder i lig- 



VI 

nende Retning af Forgængere, som sikkert i 
mange Henseender have forberedt Stoffet for 
Euklid, men paa hvem man nu kun kj ender nogle 
Navne. Saalænge Mathematiken vedblev at 
blomstre hos Grækerne, var det Euklids Ele- 
menter, som lagdes til Grund, og fra hvilke alle 
videregaaende Undersøgelser toge deres Udgangs- 
punkt. Dette Værk har spillet samme Rolle 
paa de Steder, hvortil den græske Mathematik 
senere har forplantet sig, hos Araberne i Middel- 
alderen og hos den nyere Tids Europæere. 
Endnu i de Aarhundreder, som gaa nærmest 
forud for vort, søgte de største Mathematikere, 
f. Eks. Newton, tilbage til Euklid for at finde 
en fast Grundvold for Arbejder, der række langt 
ud over de Omraader, som Grækerne betraadte. 
Netop .derved opnaaede man selv at blive for- 
staaet, thi Euklid var alles fælles Læremester. 
Ja der er endnu Lande, hvor man den Dag i 
Dag bruger hans Elementer som Lærebog. 

Kan der end indvendes adskilligt mod dette 
sidste — og jeg kunde levere mit Bidrag til disse 
Indvendinger — saa fortjene Euklids Elementer 
dog at kendes af enhver, som interesserer sig 
for Mathematik. I dem se vi, hvilken Skikkelse 
dette Fag havde hos det Folk, der først gjorde 



VII 

det til en Videnskab. Hans Behandling giver 
os Nøglen til den rette Forstaaelse af de Ar- 
bejder, som i de efterfølgende 2000 Aar have 
haft hans Elementer til Grundlag. Meget saavel 
af den almindelige Opfattelse som af Enkelt- 
heder er ogsaa gaaet over i Nutidens Lærebøger. 
Det er af Betydning hos Euklid at se dette i dets 
oprindelige Sammenhæng, som kan forklare 
meget, som ellers vilde synes tilfældigt. Særlig 
dette Hensyn vil gøre Kendskab til Euklid frugt- 
bringende for Lærere. 

Af alle disse Grunde kræver vort Universitet 
ved sin Skoleembedseksamen Kendskab tilEuk- 
lids Elementer. I Overensstemmelse herme^d 
har jeg i min udgivne »Forelæsning over Mathe- 
mathikens Historie. (Oldtid og Middelalder)« 
lagt en særlig stor Vægt paa at forklare dette 
Skrift, dets Synsmaader og Fremstillingsform og 
disses Sammenhæng med den hele mathematiske 
Udvikling, og jeg har paa mange Steder henvist 
til Enkeltheder, som maa ses efter hos Euklid 
selv. Derfor maa jeg ønske hans Værk i Hæn- 
derne ej blot paa de mathematiske Studerende, 
men paa alle dem, som læse min Bog. At mange 
med Udbytte ville læse Euklid, er iøvrigt ikke 
tvivlsomt i vort Land, hvor der ikke blot er en 



vin 

ret udbredt Interesse for Mathematiken, men 
hvor man tillige i store Kredse med Held har 
forsøgt at give den indledende Undervisning i 
dette Fag en historisk Form. 

Trods de mange Tilsætninger og Smaaæn- 
dringer, svarende til de vekslende Tiders Krav, 
for hvilke en saa anvendt Bog har været udsat 
allerede i Oldtiden, kjendes »Elementernes« op- 
rindelige Tekst ret godt. I den paalideligste 
Skikkelse fremtræder den i vor Landsmand, 
Prof J. L. Heibergs nye Udgave, i hvilken de 
sagkyndige i alle Lande med Tillid søge deres 
Oplysninger, og som ved sin skarpe Skelnen 
mellem ægte og uægte har ydet væsentlige Bi- 
drag til at retlede Forstaaelsen af Mathematiken 
paa Euklids Tid. Deh græske Tekst er vel i 
denne Udgave ledsaget af en latinsk Oversæt- 
telse; men selv paa dette Sprog er den util- 
gængelig for mange af dem, der vilde have 
størst Udbytte af Indholdet. Dette Indhold er 
godt og betydeligt nok til at læses i vort Mo- 
dersmaal ogsaa af dem blandt os, der forstaa 
Latin og til Nød kunne arbejde sig gennem lidt 
Græsk. 

Det er derfor en god Tanke af Frøken 
Eibe at have begyndt en dansk Oversættelse af 



IX 

Euklids Elementer efter Heibergs Udgave. Den 
nu foreliggende Del af hendes Oversættelse til- 
fredsstiller alle Fordringer til Nøjagtighed og 
er udført med den bedst mulige filologiske 
Bistand. 

Mærkelig nok har det endog været muligt 
at gengive en enkelt, hyppig tilbagekommende 
og derfor betydningsfuld Vending rigtigere paa 
Dansk, end det kan ske paa Latin. Man vil 
nemlig se, at selv i de saakaldte Problemer, 
hvor en eller anden Figur ønskes konstrueret 
(som i I, 2, 3, 9, lo o. s. v. i isteBog), Kon- 
struktionen kun angives med følgende Udtryk: 
Lad den og den Linie være tegnet, det og det 
Punkt være taget. Dette stemmer med den 
græske Sprogform, medens Latinen kun har 
kunnet gengive dem, som om der stod: »Lad 
Linien bliv^ tegnet. Punktet blive taget,« eller 
simplere: »Man tegne, tage« eller: »Tegn, tag« 
altsaa som Forskrifter. Idet nu Euklid i den 
nyere Tid først er udbredt i latinske Oversæt- 
telser, er man i Almindelighed kommen til i 
hans Problem at se det samme som i de nu- 
værende Konstruktionsopgaver. Om end denne 
Opfattelse ikke er helt urigtig, overses dog derved 
et Hovedformaal for de Gamles Problemer, nemlig 



X 

det at tjene til Bevis for, at visse Figurer ere 
mulige i Almindelighed, eller for at de udtrykke- 
lig angivne Betingelser for deres Mulighed ere 
tilstrækkelige. At Problemerne netop have 
denne Betydning i den græske Mathematik har 
jeg tidligere andensteds paavist, men det er 
Frøken Eibes danske Oversættelse, som alle- 
rede før den blev trykt, har baaret den Frugt 
at gøre mig opmærksom paa, at Euklids 
egen Udtryksmaade stemmer med min Opfat- 
telse, idet Euklid ikke fremsætter sine Kon- 
struktioner i Regler, hvorefter noget skal ud- 
føres, men mere som noget, der udføres for at 
faa noget at vide. Samme Udtryksmaade bruges 
i de Konstruktioner, som anvendes i Beviserne 
for de egentlige Læresætninger; men ved dem 
har den mangelfulde latinske Gengivelse ikke 
kunnet hidføre nogen Misforstaaelse. 

Det er endnu kun de 2 første Bøger af 
Elementerne, som udkomme paa Dansk. I den 
første vil man, skønt Euklids Udtryksmaade i 
Indledningen er langt mindre fuldstændig end 
i hans Sætninger og Beviser, genkende de samme 
geometriske Begreber, som vi nu behandle, og 
i selve Bogen vil man beundre den Sikkerhed 
hvormed hver Sten i Bygningen føjes ind, før 



XI 

der skal bygges videre paa den. I anden Bog 
faar man en Porestilling om den geometriske 
Form, som Grækerne gav saadanne Undersø- 
gelser, som vi nu henregne til Algebra, og i 
hvilke de naaede op til Ligninger af anden 
Grad. Jeg haaber, at disse to Bøger skulle 
slaa saa godt an, at hverken Oversætterinden 
eller Gyldendalske Boghandel vil betænke sig 
paa at gaa videre. Først da vil Oversættelsen 
faa hele den Betydning, som jeg her har til- 
lagt den. 

Kjøbenhavn, den 15de Maj 1897. 

H, G, Zeuthen. 



I. 

Definitioner. 



1. Et Punkt er det, som ikke kan deles. 

2. En Linie er en Længde uden Bredde. 

3. En Linies Grænser ere Punkter. 

4. En ret Linie er en Linie, som ligger 
lige mellem Punkterne paa den. 

5. En Flade er det, som kun har Længde 
og Bredde. 

6. En Flades Grænser ere Linier. 

7. En plan Flade er en Flade, som ligger 
lige mellem de rette Linier i den. 

8. En plan Vinkel er Heldningen mellem 
to Linier, som ligge i samme Plan, have et Punkt 
fælles og ikke ligge paa ret Linie. 

9. Naar de Linier, der indeslutte Vinkelen 
ere rette, kaldes Vinkelen retlinet. 



10. Naar en ret Linie er oprejst paa en 
anden, saa at de ved Siden af hinanden lig- 
gende Vinkler blive ligestore, er enhver af de 
ligestore Vinkler ret; og den Linie, der er op- 
rejst paa den anden, kaldes lodret paa den 
anden. 

11. En stump Vinkel er en, som er større ' 
end en ret. 

12. En spidsvinkel er en, som er mindre 
end en ret. 

13. Omkreds er Grænsen for noget. 

14. En Figur er det, som indesluttes af 
en eller flere Omkredse. 

15. En Cirkel er en plan Figur, indesluttet 
af een saadan Linie (som kaldes Periferien), at 
alle de rette Linier, der kunne drages ud til 
den fra eet indenfor Figuren liggende Punkt, ere 
indbyrdes ligestore. 

16. Dette Punkt kaldes Centrum i Cir- 
kelen. 

17. En Diameter i Cirkelen er en ret Linie, 
trukken gennem Centrum og begrænset til begge 
Sider af Cirkelperiferien; den halverer ogsaa 
Cirkelen. 

18. En Halvcirkel er en Figur, som inde- 
sluttes af en Diameter og den af Diameteren 



V 



afskaame Periferi. Halvcirkelens Centrum er det 
samme som Cirkelens. 

19. Retlinede Figurer ere saadanne, som 
indesluttes af rette Linier : tresidede, som inde- 
sluttes af tre, firsidede af fire, flersidede af flere 
end fire rette Linier. 

20. Af tresidede Figurer kaldes den, der 
har alle tre Sider ligestore, en ligesidet, den 
som kun har to Sider ligestore, en ligebenet, 
og den, som har alle tre Sider uligestore, en 
skæv Trekant. 

21. Af tresidede Figurer kaldes endvidere 
den, som har en ret Vinkel, en retvinklet, den, som 
har en stump Vinkel, en stumpvinklet, den, som 
har alle tre Vinkler spidse, en spidsvinklet Trekant. 

22. Af firsidede Figurer kaldes den, som 
baade er ligesidet og retvinklet, et Kvadrat, den 
som er retvinklet, men ikke ligesidet, et Rekt- 
angel, den som er ligesidet, men ikke retvinklet, 
en Rhombe, den som har baade modstaaende 
Sider og Vinkler ligestore, men hverken er lige- 
sidet eller retvinklet, en Rhomboide; de øvrige 
Firsider kunne kaldes Trapezer. 

23. Parallele ere de rette Linier, som ligge 
i samme Plan og, naar de forlænges ubegrænset 
til begge Sider, ikke mødes til nogen af Siderne. 



Forudsætninger, 

Lad det være forudsat: 

1. At man kan trække en ret Linie fra 
et hvilketsomhelst Punkt til et hvilketsomhelst 
Punkt. 

2. At man kan forlænge en begrænset ret 
Linie i ret Linie ud i eet. 

3. At man kan tegne en Cirkel med et 
hvilketsomhelst Centrum og en hvilkensomhelst 
Radius. 

4. At alle rette Vinkler ere ligestore. 

5. At, naar en ret Liiiie skærer to rette 
Linier, og de indvendige Vinkler paa samme 
Side ere mindre end to rette, saa mødes de to 
Linier, naar de forlænges ubegrænset, paa den 
Side, hvor de to Vinkler ligge, der ere mindre 
end to rette. 



Almindelige Begreber, 

1. Størrelser, som ere ligestore med den 
samme, ere indbyrdes ligestore. 

2. Naar ligestore Størrelser lægges til lige- 
store Størrelser, ere Summerne ligestore. 



s 

3. Naar ligestore Størrelser trækkes fra 
ligestore Størrelser, ere Resterne ligestore. 

4. Størrelser, der kunne dække hverandre, 
ere indbyrdes ligestore. 

5. Det hele er større end en Del af det. 

I. 

At konstruere en ligesidet Trekant paa en 
given begrænset ret Linie, 




Lad AB være den givne begrænsede rette 
Linie. Man skal da konstruere en ligesidet Tre- 
kant paa den rette Linie AB. 

Lad Cirkel BCD være tegnet med A som 
Centrum og AB som Radius og tillige Cirkel 
ACE med B som Centrum og BA som Radius, og 
lad de rette Linier CA og CB være dragne fra 
Cirklernes Skæringspunkt C til Punkterne A og B. 



• 



^ 



Da nu Punkt A er Centrum i Cirkel CDB, 
er AC = AB. Da endvidere Punkt B er Cen- 
trum i Cirkel CAE, er BC = BA. Men det 
blev ogsaa bevist, at CA er lig AB. Altsaa er 
baade CA og CB lig AB. Men Størrelser, der 
ere ligestore med den samme Størrelse, ere ind- 
byrdes ligestore. Altsaa er CA = CB. Altsaa 
ere de tre rette Linier CA, AB og BC indbyrdes 
Mgestore. 

Altsaa er l\ ABC ligesidet, ogdenerkon- 
Irueret paa den givne begrænsede rette Linie 
3; hvilket skulde gøres. 

2. 

TJd fra et givet Punkt at afsætte en ret 
Linie lig en given ret Linie, 

Lad A være det givne Punkt og BC den 
givne rette Linie. Man skal da ud fra det givne 
Punkt A afsætte en ret Linie lig den givne rette 
Linie BC. 

Lad nemlig en ret Linie AB være dragen 
fra Punkt A til Punkt B, lad der paa den være 
konstrueret en ligesidet Trekant DAB, lad de 
rette Linier AE og BF være afsatte i Forlæn- 
gelse af DA og DB, lad Cirkel CGH være tegnet 
med B som Centrum og BC som Radius, og 



lad Cirkel GIK være tegnet med D som Centrum 
og DG som Radius. 

Da nu Punkt B er Centrum i Cirkel CGH, 
er BC = BG. Da endvidere Punkt D er Cen- 
trum i Cirkel GIK, er 
DK = DG; ogpaadem 
ere Stykkerne DA og 
DB ligestore; altsaaer 
Resten AK lig Resten 
BG. Men det blev 
ogsaa bevist, at BC 
er lig BG. Altsaa er 
baade AK og BC lig 
BG. Men Størrelser, 
som ere ligestore med 

den samme Størrelse, ere indbyrdes ligestore. 
Altsaa er AK = BC. 

Altsaa er der ud fra det givne Punkt A af- 
sat en ret Linie AK lig den givne rette Linie 
BC; h. s. g. 




3. 

Paa den største af to givne uligestore rette 
Linier at afskære en ret Linie lig den mindste. 

Lad AB og C være de to givne uligestore 
rette Linier, og lad ^AB være den største af 



8 

dem. Man skal da paa den største AB afskære 

en ret Linie lig den mindste C. 

Lad AD være afsat ud fra Punkt A lig 

den givne rette Linie C, og lad Cirkel DEF 

være tegnet med 
A som Centrum og 
AD som Radius. 
Da nu Punkt A 
er Centrum i Cirkel 
DEF,erAE = AD. 
Men C er ogsaa 
lig AD. Altsaaer 

baade AE og Clig AD. Altsaa er AE = C. 
Altsaa er der paa den største AB af to 

givne uligestore rette Linier AB og C afskaaret 

AE lig den mindste C; h. s. g. 




4. 

Naar to Trekanter have to Sider parvis 
ligestore og de Vinkler, der indesluttes af de 
ligestore rette Linier , ligestore, saa ville de ogsaa 
have Grundlinierne ligestore, og Trekanterne 
ville være ligestore^ og de øvrige Vinkler, over- 
for hvilke de ligestore Sider ligge, ville være 
parvis ligestore. 




Lad ABC og DEF være to Trekanter, hvor 
de to Sider AB og AC parvis ere lig de to 
Sider DE og DF, nemlig AB = DE og AC = 
DF, og hvor Z. BAC er lig Z. EDF. Jeg siger 
da: at Grundlinie BC vil være lig Grundlinie 
EF, at A ABC vil være Hg {\ DEF, og at de 
øvrige Vinkler, overfor hvilke de ligestore Sider 
ligge, ville være parvis 
ligestore, ZL ABC = 
ZL DEF og ZL ACB = 
^ DFE. 

Naar nemlig /\ ABC 
lægges paa/\DEF, idet 
Punkt A anbringes i 
Punkt D og den rette 
Linie AB paa den rette 
Linie DE, saa vil Punkt 

B træffe i E, fordi AB er lig DE. Men naar 
AB dækker DE, saa vil den rette Linie AC 
falde paa den rette Linie DF, fordi zl BAC er lig 
^ EDF. Følgelig vil her Punkt C træffe i Punkt 
F, fordi AC er lig DF. Men B traf jo i E ; følgelig 
vil Grundlinie BC dække Grundlinie EF. Thi 
hvis Grundlinie BC ikke dækker EF, naar B 
træffer i E og C i F, saa ville to rette Linier 




lO 

indeslutte et Rum; og det er umuligt. Altsaa 
vil Grundlinie BC dække EF og være lig med 
den. Følgelig vil hele /\ABC dække hele 
/\DEF og være lig med den; og de øvrige 
Vinkler ville dække de øvrige Vinkler og være 
lig med dem, ^ ABC = Z. DEF og Zl ACB 

Altsaa: naar to Trekanter have to Sider 
parvis ligestore og de Vinkler, der indesluttes 
af de ligestore rette Linier, ligestore, saa ville 
de ogsaa have Grundlinierne ligestore, og Tre- 
kanterne ville være ligestore, og de øvrige 
Vinkler, overfor hvilke de ligestore Sider ligge, 
ville være parvis ligestore ; hvilket skulde bevises. 

S- 

/ en ligebenet Trekant ere Vinklerne ved 
Grundlinien ligestore; og^ naar de ligestore rette 
Linier ere forlængede, ville Vinklerne under 
Grundlinien være ligestore. 

Lad ABC være en ligebenet Trekant, hvor 
Side AB er lig Side AC, og lad de rette Linier 
BD og CE være afsatte i Forlængelse af AB 
og AC. Jeg siger da: Z^ABC = zlACB, og 
^CBD = zlBCE. 



II 



Lad der nemlig paa BD være taget et vilkaar- 
ligt Punkt F, lad der paa den største AE, være 
afskaaret AG = AF, og lad de rette Linier FC 
og GB være dragne. 

Da nu AF er lig AG og AB er lig AC, 
saa ere de to Sider FA og AC parvis lig de 
to Sider GA og AB; 
og de indeslutte den 
fælles Vinkel FAG; 
altsaa vil Grundlinie 
FC være lig Grundlinie 
GB; AAFC vil være 
lig/\AGB; og de øv- 
rige Vinkler, overfor 
hvilke de ligestore Si- 
der ligge, ville være 
parvis ligestore, nem- 
Ug^ACF = ^ABG 
og^AFC = z:AGB. 

Og da hele AF er lig hele AG og paa dem 
igen AB er lig AC, saa er Resten BF lig Resten 
CG. Men det blev ogsaa bevist, at FC er lig 
GB. Altsaa ere de to Sider BF og FC parvis 
lig de to Sider CG og GB ; desuden er zl BFC 
lig zlCGB; og deres Grundlinie BC er fælles; 
altsaa vil /\ BFC være lig /\ CGB, og de øvrige 




12 

Vinkler, overfor hvilke de ligestore Sider ligge, 
ville være parvis ligestore. Altsaa er ^FBC 
= Z. GCB, og Z. BCF = Z CBG. Da det nu 
blev bevist, at hele Z. ABG er lig hele Z ACF, 
og af dem igen Z CBG er lig -^BCF, saa er 
Resten Z ABC lig Resten Z ACB. Og de 
ligge ved ^ABC's Grundlinie. Men det blev 
tillige bevist, at Z FBC er lig Z GCB. Og de 
ligge under Grundlinien. 

Altsaa: i en ligebenet Trekant ere Vink- 
lerne ved Grundlinien ligestore ; og naar de lige- 
store rette Linier ere forlængede, ville Vinklerne 
under Grundlinien være ligestore; h. s. b. 



6. 

Naar to Vinkler i en Trekant ere ligestore, 
ville ogsaa de Sider^ der ligge overfor de lige- 
store Vinkler^ være ligestore. 

Lad ABC være en Trekant, hvor Z ABC 
er lig Z ACB. Jeg siger da, at Side AB er lig 
Side AC. 

Thi hvis AB og AC ere uligestore, er en 
af dem størst. Lad AB være størst, lad der 
paa den største AB være afskaaret Stykket DB 
lig den mindste AC, og lad DC være dragen. 




13 

Da nu DB er lig AC, ogBC er fælles, saa 
ere de to Sider DB og BC parvis lig de to 
Sider AC og CB; desuden er 
^DBC = ZlACB; altsaa er 
Grundlinie DC lig Grundlinie 
AB, og ^DBC vil være lig 
/\ ACB, en mindre lig en 
større; hvilket er umuligt. Alt- 
saa er AB og AC ikke ulige- 
store. Altsaa er AB = AC. 

Altsaa: naar to Vinkler i 
en Trekant ere ligestore, ville ogsaa de Sider, 
der ligge overfor de ligestore Vinkler, være lige- 
store; h. s. b. 

7. 

Naar der fra en ret Linies Endepunkter 
er konstrueret to rette Linier til eet Punkt ^ kan 
man ikke fra de samme Endepunkter konstruere 
to andre rette Linier^ parvis lig de første, til 
et andet Punkt paa samme Side af Linien. 

Thi hvis det er muligt, saa lad der fra den 
rette Linie AB's Endepunkter være konstrueret 
to rette Linier AC og CB til eet Punkt C og 
desuden fra de samme Endepunkter to andre 
rette Linier AD og DB parvis lig de første 



til et andet Punkt D paa samme Side, nemlig 
DA = CA fra samme Endepunkt A, og DB 
= CB fra samme Endepunkt B, og lad CD 
være dragen. 

Da nu AC er lig AD, er Z. ACD lig 
z: ADC. Altsaa er Z. ADC større end Z DCB. 
Altsaa er Z CDB meget større end Z DCB. 

Paa den anden Side: da 
CB er lig DB, er ^ CDB 
= Z DCB. Men det 
blev ogsaa bevist, at den 
er meget større; og det 
er umuligt. 

Altsaa: naar der fra 
en ret Linies Endepunk- 
ter er konstrueret to rette 
Linier til eet Punkt, kan man ikke fra de samme 
Endepunkter konstruere to andre rette Linier, 
parvis lig de første, til et andet Punkt paa samme 
Side af Linien ; h. s. b. 

8. 

Naar to Trekanter have to Sider parvis 
ligestore og tillige Grundlinierne ligestore^ saa 
ville de ogsaa have de Vinkler ligestore^ som 
indesluttes af de ligestore rette Linier. 




15 

Lad ABC og DEF være to Trekanter, hvor 
de to Sider AB og AC parvis ere lig de to 
Sider DE og DF, nemlig AB = DE og AC 
= DF, og lad dem tillige have Grundlinie BC 
lig Grundlinie EF. Jeg siger da: ^BAC = 
^EDF. 

Thi naar /\ ABC lægges paa ^ DEF, idet 
Punkt B anbringes i Punkt E, og den rette 





Linie BC lægges paa den rette Linie EF, saa 
vil Punkt C træffe i F, fordi BC er lig EF. 
Og naar nu BC dækker EF, saa ville BA og 
CA ogsaa dække ED og DF. Thi hvis Grund- 
linie BC dækker Grundlinie EF, mens Siderne 
BA og AC ikke dække ED og DF, men falde 
udenfor, f. Ex. i EG og GF, saa vil der fra en 
ret Linies Endepunkter være konstrueret to rette 



i6 

Linier til eet Punkt, og fra de samme Ende- 
punkter to andre rette Linier, parvis lig de 
første, til et andet Punkt paa samme Side af 
Linien. Men det kan man ikke. Altsaa, naar 
Grundlinie BC dækker Grundlinie EF, kunne 
Siderne BA og AC ikke lade være at dække 
ED og DF. Altsaa ville de dække dem. Følge- 
lig vil ogsaa ^ BAC dække Z^ EDF og være 
lig med den. 

Altsaa: naar to Trekanter have to Sider 
parvis ligestore og tillige Grundlinierne ligestore, 
saa ville de ogsaa have de Vinkler ligestore, som 
indesluttes af de ligestore rette Linier; h. s. b. 



9. 

At halvere en given retlinet Vinkel. 

Lad BAC være den 
givne retlinede Vinkel. Man 
skal da halvere den. 

Lad der paa AB være 
taget et vilkaarligt Punkt 
D, og lad der paa AC være 
afskaaret AE = AD, lad 
DE være dragen, lad der 
paa DE være konstrueret 
'c en ligesidet Trekant DEF, 




17 



og lad AF være dragen. Jeg siger da, at 
^ BAC er halveret af den rette Linie AF. 

Thi da AD er lig AE, og AF er fælles, 
saa ere de to Sider DA og AF parvis lig de 
to Sider EA og AF; og Grundlinie DF er lig 
Grundlinie EF; altsaa er ^DAF = ^EAF. 

Altsaa er den givne retlinede Vinkel BAC 
halveret af den rette Linie AF; h. s. g. 



10. 

At halvere en given begrænset ret Linie, 

Lad AB være den givne begrænsede rette 
Linie. Man skal da halvere den begrænsede 
rette Linie AB. 

Lad der paa den være konstrueret en lige- 
sidet Trekant ABC, og lad Z- ACB være hal- 
veret af den rette Linie CD. Jeg siger da, at den 
rette Linie AB er halveret i Punkt D. 

Thi da AC er lig CB, 
og CD er fælles, saa ere de 
to Sider AC og CD parvis 
lig de to Sider BC og CD ; 
og Z^ ACD er lig Z. BCD ; 
altsaa er Grundlinie AD lig 
Grundlinie BD. 




I 



i8 

Altsaa er den givne begrænsede rette Linie 
AB halveret i D; h. s. g. 



II. 

Fra et givet Punkt paa en given ret Linie 

at oprejse en ret Linie vinkelret paa den givne. 

Lad AB være den givne rette Linie og C 

det givne Punkt paa den. Man skal da fra 

Punkt C oprejse en ret Linie vinkelret paa AB, 

Lad der være 
taget et vilkaarligt 
Punkt D paa AB, 
lad CE være afsat 
lig CD, lad der paa 
DE være konstru- 
eret en ligesidet 
Trekant FDE, og 
lad FC være dragen. Jeg siger da, at fra det 
givne Punkt C paa den givne rette Linie AB er 
den rette Linie FC oprejst vinkelret paa AB. 

Thi da DC er ligCE, og CF er fælles, saa 
ere de to Sider DC og CF parvis lig de to 
Sider EC og CF; og Grundlinie DF er lig 
Grundlinie FE ; altsaa er Zl DCF = Z- ECF. 
Og de ligge ved Siden af hinanden. Men naar 
en ret Linie er oprejst paa en anden, saa at de 




19 

ved Siden af hinanden liggende Vinkler blive 
ligestore, er enhver af de ligestore Vinkler ret. 
Altsaa ere begge Vinklerne DCF og FCE rette. 
Altsaa er der fra det givne Punkt C paa 
den givne rette Linie AB oprejst den rette Linie 
CF vinkelret paa AB; h. s. g. 



12. 

Fra et Punkt udenfor en given ubegrænset 
ret Linie at nedfælde en ret Linie lodret paa 
den givne. 

Lad AB være den givne ubegrænsede rette 
Linie og C det givne Punkt udenfor den. Man 
skal da fra det givne Punkt C udenfor den givne 
ubegrænsede rette Linie AB nedfælde en ret 
Linie lodret paa AB. 

Lad der nemlig paa den anden Side af den 
rette Linie AB være taget et vilkaarligt Punkt 
D, lad Cirkel EFG 
være tegnet med C 
som Centrum og 
CD som Radius, 
lad den rette Linie [ c 

EG være halveret 
i H, og lad de rette ^. 
Linier CG, CH og 




20 

CE være dragne. Jeg siger da, at der fra det 
givne Punkt C udenfor den givne ubegrænsede 
rette Linie AB er nedfældet den rette Linie CH 
lodret paa AB. 

Thi da GH er lig HE, og HC er fælles, 
saa ere de to Sider GH og HC parvis lig de to 
Sider EH og HC ; og Grundlinie CG er lig Grund- 
linie CE; altsaa er Z, CHG = /L EHC. Og 
de ligge ved Siden af hinanden. Men naar en 
ret Linie er oprejst paa en anden, saa at de 
ved Siden af hinanden liggende Vinkler blive 
ligestore, er enhver af de ligestore Vinkler ret ; 
og den Linie, der er oprejst paa den anden, 
kaldes lodret paa den anden. 

Altsaa er der fra det givne Punkt C uden- 
for den givne ubegrænsede rette Linie AB ned- 
fældet den rette Linie CH lodret paa AB ; h. s. g. 

13- 

Naar en ret Linie er oprejst paa en anden 
ret Linie, saa at der dannes Vinkler^ ville de 
enten være to rette Vinkler eller tilsammen lig 
to rette. 

Lad nemlig en vilkaarlig ret Linie AB være 
oprejst paa den rette Linie CD og danne Vink- 
lerne CBA og ABD. Jeg siger da, at Vink- 



21 



lerne CBA og ABD enten ere to rette Vinkler 
eller tilsammen lig to rette. 

Hvis z: CBA er lig ^ ABD, ere de to rette 
Vinkler. Men, hvis ikke, saa lad der fra Punkt B 
være oprejst BE vinkelret paa CD. 

Da ere Vinklerne CBE og EBD to rette 
Vinkler. Nu er ^CBE = ^CBA + ^ ABE ; lad 
j^ EBD være lagt til dem begge, saa er ^ CBE + 

^ EBD = 

^ CBA + BA 

^ ABE + 
^EBD. Endvi- 
dereer^DBA 
= ^DBE + 
^ EBA; lad 

^ ABC være ^ ^ 

lagt til dem 

begge, saa er Z. DBA + Z. ABC = Z DBE 
+ ^EBA + ZlABC Men det blev ogsaa 
bevist, at ^CBE + ^EBD er lig de samme 
tre Vinkler. Men Størrelser, som ere ligestore 
med den samme Størrelse, ere indbyrdes lige- 
store. Altsaa er Z. CBE + Z EBD = Z DBA 
-t- Z ABC. Men Vinklerne CBE og EBD ere 
to rette. Vinkler. Altsaa er ^DBA + ZABC 
lig to rette. 



22 



Altsaa: naar en ret Linie er oprejst paa en 
anden ret Linie, saa at der dannes Vinkler, ville 
de enten være to rette Vinkler eller tilsammen 
lig to rette; h. s. b. 



14. 

Naar to rette Linier ere tegnede ud fra et 
Punkt paa en ret Linie til hver sin Side^ saa at 
Vinklerne ved Siden af hinanden tilsammen 
ere lig to rette, ville de rette Linier ligge i For- 
længelse af hinanden. 

Lad nemlig de to rette Linier BC og BD 
være tegnede ud fra et Punkt B paa en ret 
Linie AB til hver sin Side, saa at Vinklerne 
ved Siden af hinanden tilsammen ere lig to rette. 
Jeg siger da, atBD ligger i Forlængelse afCB. 
Thi hvis BD ikke ligger i Forlængelse af 
CB, saa lad BE ligge i Forlængelse af CB. 

Da nu den rette Linie AB er oprejst paa den 
*^. rette Linie CBE, 

saa er ^ ABC -j- 
z: ABE lig to 
rette. MenZLABC 
+ Z. ABD er og- 
saa lig to rette. 
Altsaa er Z^ CB A 




23 

+ Z. ABE = ^ CBA + ^ ABD. Lad den 
fælles Vinkel CBA være trukken fra, saa er 
Resten Zl ABE lig Resten zl ABD, en mindre 
lig en større; hvilket er umuligt. Altsaa 
ligger BE ikke i Forlængelse af CB. Paa samme 
Maade ville vi ogsaa kunne bevise, at heller 
ikke nogen anden gør det, undtagen BD. Altsaa 
ligger BD i Forlængelse af CB. 

Altsaa: naar to rette Linier ere tegnede ud 
fra et Punkt paa en ret Linie til hver sin Side, 
saa at Vinklerne ved Siden af hinanden til- 
sammen ere lig to rette, ville de rette Linier 
ligge i Forlængelse af hinanden; h. s. b. 



15- 

Naar to rette Linier skære hinanden^ ere 
Topvinklerne ligestore. 

Lad nemlig de rette Linier AB og CD 
skære hinanden i Punkt E. Jeg siger da: ^AEG 
= z: DEB, og A, CEB = Z. AED. 

Thi da den rette Linie AE er oprejst paa 
den rette Linie CD og danner Vinklerne CEA 
og AED, saa er Z CEA + Z. AED lig to 
rette. Da endvidere den rette Linie DE er op- 



24 

rejst paa den rette Linie AB og danner 
Vinklerne AED og DEB, saa er Z. AED + 
^ DEB lig to rette. Men det blev ogsaa 
bevist, at Z CEA + ^ AED er lig to rette. 
Altsaa er Z. CEA + Z. AED = Z. AEI> 
+ Z DEB. Lad den fælles Vinkel AED 
være trukken fra, saa er Resten Z CEA lig 
Resten ^BED. Paa samme Maade ville vi 




ogsaa kunne bevise, at Vinklerne CEB og DEA 
ere ligestore. 

Altsaa: naar to rette Linier skære hinanden, 
ere Topvinklerne ligestore; h. s. b. 

1 6. 

/ enhver Trekant er, naar en af Siderne 
er forlænget, den udvendige Vinkel større, end 
enhver af de indvendige og modstaaende Vinkler, 



25 



Lad ABC være en Trekant, og lad en at 
dens Sider BC være forlænget tilD. Jeg siger 
da, at den udvendige Vinkel ACD er større end 
enhver af de indvendige og modstaaende Vinkler 
CBA og BAC. 

Lad AC være halveret i E, lad den rette 
Linie BE være dragen og forlænget til F, lad 
EF være afsat ligBE, 
lad FC va^e dragen, 
og lad AC være fort- 
sat til G. 

Da nu AE er lig 
EC, og BE er lig EF, 
saa ere de to Sider AE 
og EB parvis lig de to 
Sider CE og EF; og 
^ AEB er lig Zl FEC, 
thi de ere Topvinkler ; 

altsaa er Grundlinie AB lig Grundlinie FC; 
A ABE er lig /\ FCE ; og de øvrige Vinkler, 
overfor hvilke de ligestore Sider ligge, ere parvis 
lig de øvrige Vinkler. Altsaa er -^BAE = 
^ ECF. Men Zl ECD er større end ^ ECF. 
Altsaa er Zl ACD større end Z. BAE. Paa 
samme Maade vil man ved at halvere BC 




26 

kunne bevise, at ^BCG, det vil sige^ACD, 
er større end Zl ABC. 

Altsaa: i enhver Trekant er, naar en af 
Siderne er forlænget, den udvendige Vinkel større 
end enhver af de indvendige og modstaaende 
Vinkler; h. s. b. 



17. 

/ enhver Trekant ere to hvilkesomhelst 
Vinkler tilsammen mindre end to rette. 

Lad ABC være en Trekant. Jeg siger da, 
at i /\ ABC ere to hvilkesomhelst Vinkler- til- 
sammen mindre end to rette. 

Lad nemlig BC 
være forlænget til D. 
Da nu ^ACD 
er en udvendig Vinkel 
til A ABC, er den 
større end den indven- 
dige og modstaaende 
Vinkel ABC. Lad 
^ACB være lagt til 
dem begge, saa er Z. ACD + ^ ACB større 
end Zl ABC + Z, BCA. Men Zl ACD + 
z: ACB er lig to rette. Altsaa er zlABC + 
Zl BCA mindre end to rette. Paa samme Maade 




2^ 

ville vi ogsaa kunne bevise, at Z^ BAC + 
Z. ACB er mindre end to rette, og ligesaa ^ CAB 
+ ^ABC. 

Altsaa: i enhver Trekant ere to hvilkesom- 
helst Vinkler tilsammen mindre end to rette; 
h. s. b. 



i8. 

/ enhver Trekant ligger der overfor en 
større Side en større Vinkel, 

Lad nemlig ABC være en Trekant, hvor 
Side AC er større 
end Side AB. Jeg 
siger da, at Z^ ABC 
er større end A. BCA. 

Thi da AC er 
større end AB, saa 
lad AD være afsat 
lig AB, og lad BD 
være dragen. 

Da nu zlADB er en udvendig Vinkel til 
/\BCD, er den større end den indvendige og 
modstaaende Vinkel DCB. Men Z^ ADB er lig 
ZIABD, da Side AB er lig Side AD. Altsaa 
er Z ABD større end Z ACB. Altsaa er 
ZlABC meget større end ^ACB. 




28 

Altsaa: i enhver Trekant ligger der overfor 
en større Side en større Vinkel; h. s. b. 



' 



19. 

/ enhver Trekant ligger der overfor en 

større Vinkel en større Side. 

Lad ABC være en Trekant, hvor Z. ABC 

er større end ^BCA. Jeg siger da, at Side 

AC er større end Side AB. 

Thi, hvis ikke, er AC enten lig med eller 

mindre end AB. AC er nu 
ikke lig AB; thi i saa Fald 
vilde ^ABC værelig^ ACB, 
men det er den ikke. Altsaa 
er AC ikke lig AB. Men 
AC er heller ikke mindre 
end AB ; thi i saa Fald vilde 
Z. ABC være mindre end 
-^ACB, men det er den ikke. 

Altsaa er AC ikke mindre end AB. Og det 

blev bevist, at den heller ikke er lig AB. Altsaa 

er AC større end AB. 

Altsaa: i enhver Trekant ligger der overfor 

en større Vinkel en større Side; h. s. b. 




29 



20. 

/ enhver Trekant ere to hvilkesomhelst Sider 
tilsammen større end den tredje. 

Lad nemlig ABC være en Trekant. Jeg 
siger da, at i £\ ABC ere to hvilkesomhelst 
Sider tilsammen større end den tredje, BA + 
AC større end BC, AB + BC større end AC, 
BC + CA større end AB. 

Lad rømlig BA være fortsat til Punkt D, 
lad AD være afsat lig CA, 
og lad DC være dragen. 

Da nu DA er lig AC, er 
Z^ ADC = Z. ACD. Altsaa 
er ^BCD større end zl ADC. 
Og da DCB er en Trekant, 
hvor Z. BCD er større end 
^BDC, og der overfor en 
større Vinkel ligger en større 
Side, saa er DB større end BC. Men DA er 
lig AC. Altsaa er BA + AC større end BC. 
Paa samme Maade ville vi ogsaa kunne bevise, 
at AB + BC er større end AC, og at BC + 
CA er større end AB. 

Altsaa: i enhver Trekant ere tohvilkesom- 




30 

helst Sider tilsammen større end den tredje; 
h. s. b. 

21. 

Naar der i en Trekant fra Endepunkterne 
af en af Siderne er konstrueret to rette Linier 
indenfor Trekanten, saa ville de to rette 
Linier tilsammen være mindre end Trekantens to 
atidre Sider tilsammen^ men indeslutte en større 
Vinkel, 

Lad der nemlig i ^ ABC fra Endepunk- 
terne B og C af en af Siderne BC være konstrueret 
to rette Linier BD og DC indenfor Trekanten. 
Jeg siger da, at BD og DC tilsammen ere mindre 
end Trekantens to andre Sider BA og AC til- 
sammen, men at den Vinkel, de indeslutte, 
Z. BDC er større end Z BAC. 

Lad nemlig BD være fortsat til E. 

Da nu i enhver Trekant de to Sider til- 
sammen ere større end den tredje, saa er i 
l\ ABE AB -j- AE større end BE. Lad EC være 
lagt til dem begge, saa er BA -f AC større 
end BE -j- EC. Endvidere er i /\ CED CE 
+ ED større end CD. Lad DB være lagt til 
dem begge, saa er CE -f EB større end CD 
+ DB. Men det blev bevist, at BA + AC 



31 

er større end BE + EC. Altsaa er BA + AC 
meget større end BD + DC. 

Da endvidere i enhver Trekant en udvendig 
Vinkel er større end enhver af de indvendige 
og modstaaende, saa er /\ CDE's udvendige 
Vinkel BDC større end ^ CED. Af samme 
Grund er altsaa ogsaa ^ ABE's udvendige 
Vinkel CEB større end 
^ BAC. Men det 
blev bevist, at ^ BDC 
er større end Z. CEB. 
Altsaa er Zl BDC 

meget større end 
^BAC. 

Altsaa : naar der 
i en Trekant fra Ende- 
punkterne af en af Siderne er konstrueret to rette 
Linier indenfor Trekanten, saa ville de to rette 
Linier tilsammen være mindre end Trekantens 
to andre Sider tilsammen, men indeslutte en 
større Vinkel; h. s. b. 




22. 



Ai konstruere en Trekant af tre rette Linier, 
lig tre givne rette Linier; dog maa to hvilkesom- 
helst tilsammen være større end den tredje. 



32 

Lad A, B og C være de tre givne rette Linier, 
og lad to hvilkesomhelst af dem tilsammen være 
større end den tredje, A + B større end C, 
A + C større end B og B + C større end A. 
Man skal da konstruere en Trekant af rette 
Linier lig A, B og C. 




Lad en ret Linie DE være afsat begrænset 
i D, men ubegrænset henimod E, lad der være 
afsat DF = A, FG = B, GH = C, lad Cirkel 
DIK være tegnet med F som Centrum og FD 
som Radius, lad endvidere Cirkel KIH være 
tegnet med G som Centrum og GH som Radius, 
og lad IF og IG være dragne. Jeg siger da, at 



33 

/\ IFG er konstrueret af tre rette Linier lig 
A, B og C. 

Thi da Punkt F er Centrum i Cirkel DIK, 
er FD = FL Men FD er lig A. Altsaa er 
FI ogsaa lig A. Da endvidere Punkt G er 
Centrum i Cirkel KIH, er GH = GI. Men GH 
er lig C. Altsaa er IG ogsaa lig C. Og FG 
er lig B. Altsaa ere de tre rette Linier IF, 
FG og GI lig de tre rette Linier A, B og C. 

Altsaa er /\ IFG tegnet af tre rette Linier 
IF, FG og GI lig de tre givne rette Linier A, 
B og C; h. s. g. 

23. 

Ved en given ret Linie og et givet Punkt 
paa den at konstruere en retlinet Vinkel lig 
en given retlinet VinkeL 

Lad AB være den givne rette Linie, A det 
givne Punkt paa den og ^ DCE den givne 
retlinede Vinkel. Man skal da ved den givne 
rette Linie AB og det givne Punkt A paa den 
konstruere en retlinet Vinkel lig den givne ret- 
linede Vinkel DCE. 

Lad der være taget vilkaarlige Punkter D 
og E, henholdsvis paa CD og CE, lad DE 




34 

være dragen, og lad ^AFG være konstrueret 
af tre rette Linier, som ere lig de tre rette 

Linier CD, DE og CE^ 
saa at CD = AF, CE 
= AG og DE = FG. 

Da nu de to Sider 
DC og CE ere parvis lig 
de to Sider FA og AG^ 
og Grundlinie DE er lig 
Grundlinie FG, saa er 
-^DCE = ^FAG. 

Altsaa er der ved 

den givne rette Linie AB 

og det givne Punkt A paa den konstrueret den 

retlinede Vinkel FAG lig den givne retlinede 

Vinkel DCE; h. s. g. 




24. 

Naar to Trekanter have to Sider parvis 
ligestore^ men den ene har en større Vinkel 
mellem Siderne end den anden^ saa vilden ogsaa 
have en større Grundlinie end den anden. 

Lad ABC og DEF være to Trekanter, hvor 
de to Sider AB og AC parvis ere lig de to 
Sider DE og DF, nemlig AB = DE og AC 
= DF, men lad Vinkelen ved A være større 



35 



end Vinkelen ved D. Jeg siger da, at Grund- 
linie BC er større end Grundlinie EF. 

Thi da ^BAC er større end^EDF, saa 
lad der ved den rette Linie DE og Punkt D 
paa den være konstrueret Z. EDG = Z- BAC, 
lad DG være afsat lig AC eller DF, og 
lad EG og FG være 
dragne. 

Da nu AB er lig DE, 
og AC er lig DG, saaere 
de to Sider BA og AC 
parvis lig de to Sider 
ED og DG ; og ^ BAC 
er lig A. EDG ; altsaa er 
Grundlinie BC lig Grund- 
linie EG. Da endvidere 
DF er lig DG, er ^ DGF 
= Z. DFG. Altsaa er 

ZlDFG større end 
Zl EGF. Altsaa er Z EFG meget større end 
Z. EGF. Da nu EFG er en Trekant, hvor Z EFG 
er større end Z EGF, og der overfor en større 
Vinkel ligger en større Side, saa er Side EG 
større end Side EF. Men EG er lig BC. Altsaa 
er ogsaa BC større end EF. 




3* 



36 

Altsaa: naar to Trekanter have to Sider 
parvis ligestore, men den ene har en større 
Vinkel mellem Siderne end den anden, saa vil 
den ogsaa have en større Grundlinie end den 
anden; h. s. b. 



25. 

Naar to Trekanter have to Sider parvis 
ligestore ^ men den ene har en større Grundlinie 
end den anden^ saa vil den ogsaa have en større 
Vinkel mellem Siderne end den anden. 

Lad ABC og DEF være to Trekanter, 
hvor de to Sider AB og AC parvis ere lig de 
to Sider DE og DF, nemlig AB = DE og 

AC = DF, men lad 
A Grundlinie BC være 

større end Grundlinie 
EF. Jeg siger da, 
at zlBAC er større 
end ^EDF. 

Thi, hvis ikke, 
saa er A. BAC enten 
lig med eller mindre 
end^EDF. ZIBAC 
er nu ikke lig A. EDF ; 
thi i saa Fald vilde 





37 

Grundlinie BC være lig Grundlinie EF, men det 
er den ikke. Altsaa er ^ BAG ikke lig Z- EDF. 
Men ^BAG er heller ikke mindre end Zl EDF; 
thi i saa Fald vilde Grundlinie BG være mindre 
end Grundlinie EF, men det er den ikke. Altsaa 
er ^ BAG ikke mindre end A. EDF. Og det 
blev bevist, at den heller ikke er lig ^ EDF. 
Altsaa er /L^PSL større end ^EDF. 

Altsaa: naar to Trekanter have to Sider 
parvis ligestore, men den ene har en større 
Grundlinie end den anden, saa vil den ogsaa 
have en større Vinkel mellem Siderne end den 
anden; h. s. b. 

26. 

Naar to Trekanter have to Vinkler parvis 
ligestore og et Par Sider ligestore, enten dent^ 
der ligge mellem de parvis ligestore Vinkler^ 
eller dem, der ligge overfor et Par ligestore 
Vinkler, saa ville de ogsaa have de andre Sider 
parvis ligestore og det tredje Par Vinkler lige- 
store. 

Lad ABG og DEF være to Trekanter, hvor 
Vinklerne ABG ogBGA parvis ere lig Vinklerne 
DEF og EFD, nemlig Z. ABG = Z. DEF og 
^BGA = ^EFD, og lad dem desuden have 



38 




et Par Sider ligestore, først dem, der ligge 
mellem de ligestore Vinkler, nemlig BC = EF. 
Jeg siger da, at de ogsaa ville have de øvrige 
Sider parvis ligestore, nemlig AB = DE og 
AC = DF, og det tredje Par Vinkler ligestore, 
nemlig Z^ B AC = ^ EDF. 

Thi hvis AB og DE ere uligestore, er en 

af dem størst. Lad AB være 
størst, lad BG være afsat lig 
DE og lad GC være dragen. 
Da nu BG er lig DE, og 
BC er lig EF, saa ere de to 
Sider BG og BC parvis lig de 
to Sider ED og EF ; og zl GBC 
er lig ^ DEF; altsaa er 
Grundlinie GC lig Grundlinie 
DF; A GBC er lig A DEF; 
og de øvrige Vinkler, overfor 
hvilke de ligestore Sider ligge, ville være lige- 
store. Altsaa er Z. GCB = Z. DFE. Men det 
er givet, at ZlDFE er lig zlBCA. Altsaa er 
ZL BCG = Z BCA, en mindre lig en større; 
hvilket er umuligt. Altsaa ere AB og DE ikke 
uligestore. Altsaa er AB = DE. Desuden er 
BC = EF. Altsaa ere de to Sider AB ogBC 
parvis lig de to Sider DE og EF; og Z ABC 




39 

€r lig zlDEF; altsaa er Grundlinie AC lig 
Grundlinie DF, og den tredje Vinkel BAC er 
lig den tredje Vinkel EDF. 

Men lad nu de Sider, der ligge overfor et 
Par ligestore Vinkler, være ligestore, f. Ex. AB 
= DE; saa siger jeg atter, at de øvrige Sider 
ogsaa ville være ligestore, AC = DF og BC 
= EF, og tillige, at den tredje Vinkel BAC er 
lig den tredje Vinkel EDF. 

Thi hvis BC og EF ere uligestore, er en 
af dem størst. Lad om muligt BC være størst, 
lad BH være afsat lig EF, og lad AH være dragen. 

Da nu BH er lig EF, og AB er lig 
DE, saa ere de to Sider AB og BH parvis lig 
de to Sider DE og EF; og de indeslutte lige- 
store Vinkler; altsaa er Grundlinie AH lig Grund- 
linie DF; /\ABH er lig /\DEF; og de øvrige 
Vinkler, overfor hvilke de ligestore Sider ligge, 
ville være ligestore. Altsaa er Z- BHA = 
Z. EFD. Men ZL EFD er lig Z BCA. Altsaa er 
AAHC's udvendige Vinkel BHA lig den ind- 
vendige og modstaacnde Vinkel BCA ; hvilket er 
umuligt. Altsaa ere BC og EF ikke uligestore. 
Altsaa er BC = EF. Desuden er AB = DE. Alt- 
saa ere de to Sider AB og BC parvis lig de to 
Sider DE og EF ; og de indeslutte ligestore 



40 

Vinkler; altsaa er Grundlinie AC lig Grundlinie 
DF; ^ ABC er lig /\ DEF; og den tredje 
Vinkel BAC er lig den tredje Vinkel EDF. 

Altsaa: naar to Trekanter have to Vinkler 
parvis ligestore og et Par Sider ligestore, enten 
dem, der ligge mellem de parvis ligestore Vinkler, 
eller dem, der ligge overfor et Par ligestore 
Vinkler, saa ville de ogsaa have de andre Sider 
parvis ligestore, og det tredje Par Vinkler lige- 
store; h. s. b. 

27. 

Naar en ret Linie skærer to rette Linier, 
og Vekselvinklerne ere ligestore, ville de rette 
Linier være parallele. 

Lad nemlig den rette Linie EF skære de 
to rette Linier AB og CD, og lad Veksel vink- 
lerne AEF og EFD være ligestore. Jeg siger 
da, at AB er parallel med CD. 

Thi, hvis ikke, saa ville AB og CD, naar 
de forlænges, mødes enten paa den Side, hvor 
B og D ligge, eller paa den Side, hvor A og C 
ligge. Lad dem være forlængede og mødes 
paa den Side, hvor B og D ligge, i G. 

Saa er /\ GEF's udvendige Vinkel AEF lig 
den indvendige og modstaaende Vinkel EFG; 



41 

hvilket er umuligt. Altsaa ville AB og CD, naar de 
forlænges, ikke mødes paa den Side, hvor B og 
D ligge. Paa samme Maade vil det kunne be- 
vistes, at de heller ikke gøre det paa den Side, 
hvor A og C ligge. Men Linier, som ikke 
mødes til nogen af Siderne, ere parallele. Altsaa 
er AB parallel med CD. 




Altsaa: naar en ret Linie skærer to rette 
Linier, og Vekselvinklerne ere ligestore, ville de 
rette Linier være parallele; h. s. b. 

28. 

Naar en ret Linie skærer to rette Linier^ 
og den udvendige Vinkel er lig den indvendige 
og modstaaende paa samme Side, eller de ind- 
vendige Vinkler tilsammen ere lig to rette, ville 
de rette Linier være parallele. 



42 

Lad nemlig den rette Linie EF skære de 
to rette Linier AB og CD, og lad den udven- 
dige Vinkel EGB være lig den indvendige og 
modstaaende Vinkel GHD, eller de indvendige 
Vinkler paa samme Side BGH og GHD til- 
sammen være lig to rette. Jeg siger da, at AB 
er parallel med CD. 

Thi da Z, EGB er lig A. GHD, og Z^ EGB 

erlig^AGH, saaer 




Z AGH = Z GHD. 
Og de ere Veksel- 
vinkler. Altsaa er 
AB parallel med CD. 
Da endvidere 
ZlBGH + ^GHD 
er lig to rette, og 
ZIAGH -f ^BGH 
ogsaa er lig to rette, 
saa er Z BGH + ZL GHD = Z AGH + 
Z BGH. Lad den fælles Vinkel BGH være 
trukken fra, saa er Resten Z AGH lig Resten 
Z GHD. Og de ere Vekselvinkler. Altsaa er 
AB parallel med CD. 

Altsaa: naar en ret Linie skærer to rette 
Linier, og den udvendige Vinkel er lig den ind- 
vendige og modstaaende paa samme Side, eller 



V 



43 

de indvendige Vinkler paa samme Side tilsammen 
ere lig to rette, ville de rette Linier være pa- 
rallele; h. s. b. 

29. 

Naar en ret Linie skærer parallele rette 
Linier^ ere Vekselvinklerne ligestore^ den ud- 
vendige Vinkel er lig den indvendige og mod- 
staaende^ og de indvendige Vinkler paa samme 
Side ere tilsammen lig to rette. 

Lad nemlig den rette Linie EF skære de 
parallele rette Linier AB og CD. Jeg siger da, 
at Vekselvinklerne AGH og GHD ere ligestore, 
at den udvendige Vinkel EGB er lig den ind- 
vendige og modstaaende Vinkel GHD, og at 
de indvendige Vinkler paa samme Side BGH og 
GHD tilsammen ere lig to rette. 

Thi hvis Z- AGH og Zl GHD ere uligestore, 
er en af dem størst. Lad Z- AGH være størst, 
og lad Z-. BGH være lagt til dem begge, saa 
er Z. AGH + Z BGH større end Z BGH + 
Z GHD. Men Z AGH + Z BGH er lig to 
rette. Altsaa er Z BGH + Z GHD mindre end 
to rette. Men rette Linier mødes, naar de for- 
længes ubegrænset fra Vinkler, der tilsammen 
ere mindre end to rette. Altsaa ville AB og 



' 



44 

CD mødes, naar de forlænges ubegrænset. Men 
de mødes ikke, fordi det er givet, at de ere 
parallele. Altsaa er ^ AGH og ^ GHD ikke 
uligestore. Altsaa er ^ AGH = Z. GHD. 
Men ^ AGH er lig ^ EGB. Altsaa er ^ EGB 
= ^ GHD. Lad nu ^ BGH være lagt til dem 
begge, saa er ^ EGB + ^ BGH = ^ BGH 
+ ^ GHD. Men ^ EGB + ^ BGH er lig 

to rette. Altsaa 
er ogsaa ^ BGH 
+ ^ GHD lig to 
rette. 

Altsaa: naar 
en ret Linie skæ- 
rer parallele rette 
Linier, ere Vek- 
selvinkleme lige- 
store, den udven- 
dige Vinkel er lig den indvendige og modstaa- 
ende, og de indvendige Vinkler paa samme 
Side ere tilsammen lig to rette; h. s. b. 

30. 

ReUe Linier, der ere parallele med den 
samme rette Linie, ere indbyrdes parallele. 




45 

Lad begge de rette Linier AB og CD være 
parallele med EF. Jeg siger da, at AB er pa- 
rallel med CD. 

Lad nemlig den rette Linie GI skære dem. 

Da den rette Linie GI har skaaret de pa- 
rallele rette Linier AB og EF, saa er ^ AGI 
= ^ GHF. Da endvidere den rette Linie GI 
har skaaret de parallele rette Linier EF og CD, 
saa er ^ GHF = z: GID. 
Men det blev ogsaa 
bevist, at Z^ AGI er 
lig ^GHF. Altsaa er 
Z. AGI = ^ GID. Og 
de ere Vekselvinkler. Alt- 
saa er AB parallel medCD . 

Altsaa: rette Linier, der ere parallele med 
den samme rette Linie, ere indbyrdes parallele; 
h. s. b. 




31. 

Gennem et givet Punkt at trække en ret 
Linie^ parallel med en given ret Linie, 

Lad A være det givne Punkt og BC den 
givne rette Linie. Man skal da gennem Punkt 



46 

A trække en ret Linie parallel med den rette 
Linie BC. 

Lad der paa BC være taget et vilkaarligt 
Punkt D, og lad AD være dragen; lad der ved 
den rette Linie AD og Punktet A paa den være 

konstrueret ^ DAE 

= Z, ADC, og lad 

den rette Linie AF 
være afsat i Forlæn- 
^ gelse af EA. 

Da nu den rette 
Linie AD har skaaret de to rette Linier BC og 
EF, og Vekselvinkleme EAD og ADC ere lige- 
store, saa er EAF parallel med BC. 

Altsaa er der gennem det givne Punkt A 
trukket den rette Linie EAF parallel med den 
givne rette Linie BC; h. s. g. 

32. 

/ enhver Trekant er^ naar en af Siderne 

er forlængety den udvendige Vinkel lig de to 

indvendige og modstaa/:nde tilsammen^ og de tre 

Vinkler inde i Trekanten ere tilsammen lig to 

rette. 

Lad ABC være en Trekant, og lad dens 
ene Side BC være forlænget til D. Jeg siger 



47 

da, at den udvendige Vinkel ACD er lig de to ' 
indvendige og modstaaende CAB og ABC til- 
sammen, og at de tre Vinkler inde i Trekanten 
ABC, BCA og CAB tilsammen ere lig to rette. 
Lad nemlig CE være trukken gennem Punkt 
C parallel med den rette Linie AB. 

Da nu AB er parallel med CE, og den 
rette Linie AC har skaaret dem, ere Veksel- 
vinklerne BAC og ACE ligestore. Da paa den 
I anden Side AB er pa- 
I rallel med CE, og den 
rette Linie BD har 
^ skaaret dem, er den ud- 
vendige Vinkel ECD lig 
den indvendige og mod- 
staaende Vinkel ABC. 
I Men det blev ogsaa bevist, at Z. ACE er lig 
I Z, BAC. Altsaa er hele Z. ACD lig de to ind- 
j vendige og modstaaende Vinkler BAC + ABC. 
^ Lad nu Z ACB være lagt til dem begge, 
1 saa er altsaa Z ACD + Z ACB = Z ABC 
+ Z BCA + Z CAB. Men Z ACD + 
zlACB er lig to rette; altsaa er ogsaa ^ ABC 
+ Z BCA + Z CAB lig to rette. 

Altsaa: i enhver Trekant er, naar en af 
Siderne er forlænget, den udvendige Vinkel 




48 

lig de to indvendige og modstaaende tilsammen, 
og de tre Vinkler inde i Trekanten ere tilsam- 
men lig to rette; h. s. b. 




33- 

Rette Linier^ som forbinde de til hinanden 
svarende Endepunkter af ligestore og parallele 
rette Linier, ere selv ligestore og parallele. 

Lad AB og CD være ligestore og parallele, 

og lad de rette Linier 
AC og BD forbinde 
de til hinanden sva- 
rende Endepunkter. 
Jeg siger da, at AC 
og BD ere ligestore 
og parallele. 
Lad BC være dragen. 
Da nu AB er parallel med CD, og BC har 
skaaret dem, saa ere Vekselvinklerne ABC og BCD 
ligestore. Og da AB er lig CD, og BC er fælles, 
saa ere de to Sider AB og BC lig de to Sider BC 
og CD. Desuden er ^ ABC = Z. BCD. Altsaa 
er Grundlinie AC lig Grundlinie BD ; ^ ABC er 
lig /\ BCD ; og de øvige Vinkler, overfor hvilke 
de ligestore Sider ligge, ville være parvis lige- 
store. Altsaa er A. ACB = Z, CBD. Da nu 



49 

den rette Linie BC skærer de to rette Linier 
AC og BD, og Vekselvinklerne ere ligestore, 
saa er AC parallel med BD. Men det blev 
ogsaa bevist, at AC er lig BD. 

Altsaa: rette Linier, som forbinde de til 
hinanden svarende Endepunkter af ligestore og 
parallele rette Linier, ere selv ligestore og pa- 
rallele; h. s. b. 

34. 

I et Parallelogram ere de modstaaende Sider 
og Vinkler indbyrdes ligestore, og Diagonalen 
halverer Parallelogrammet, 

Lad ACDB være et Parallelogram og BC 
dets Diagonal. Jeg siger da, at i /~7 ACDB 
ere de modstaaende Sider og Vinkler indbyrdes 
ligestore, og at Diagonalen BC halverer det. 

Thi da AB er parallel med CD, og den 
rette Linie BC har skaaret dem, ere Veksel- 
vinklerne ABC og BCD ligestore. Da endvidere 
AC er parallel med 
BD, ogBC har skaa- 
ret dem, ere Veksel- 
vinklerne ACB og 
CBD ligestore. Alt- 
saa ere ABC og BCD 




50 

to Trekanter, hvor de to Vinkler ABC og BC A 
ere parvis lig de to Vinkler BCD og CBD, og 
hvor et Par Sider ere ligestore, nemlig Fælles- 
siden BC, som ligger mellem de ligestore Vinkler. 
Altsaa ville de ogsaa have de øvrige Sider parvis 
ligestore og det tredje Par Vinkler ligestore. 
Altsaa er AB = CD, AC = BD og ^ BAG 
= Z. CDB. Da nu Z, ABC er lig Z. BCD, og 
Z CBD er lig Z ACB, saa er hele Z ABD lig 
hele Z ACD. Men det blev ogsaa bevist, at 
Z BAC er lig Z CDB. 

Altsaa : i ét Parallelogram ere de modstaa- 
ende Sider og Vinkler indbyrdes ligestore. 

Jeg siger endvidere, at Diagonalen halverer 
Parallelogrammet. Thi da AB er lig CD, og 
BC er fælles, saa ere de to Sider AB og BC 
parvis lig de to Sider CD og BC ; og Z ABC 
er lig Z BCD. Altsaa er Grundlinie AC lig 
Grundlinie DB, og /\ ABC er lig /\ BCD. 

Altsaa : Diagonalen BC halverer [^J ABCD ; 
h. s. b. 

35. 

Parallelogrammer paa samme Grundlinie 
og mellem de samme Paralleler ere ligestore. 



51 

Lad ABCD og EBCF være Parallelogrammer 
paa samme Grundlinie BC og mellem de samme 
Paralleler AF og BC. Jeg siger darOABCD 
= /UEBCF. 

Thi da ABCD er et Parallelogram, er AD 
= BC. Af samme Grund er ogsaa EF = BC. 
Følgelig er AD = EF. Og DE er fælles. 
Altsaa er hele AE lig hele DF. Desuden er 
AB = DC. Altsaa ere de to Sider EA og AB 




parvis lig de to Sider FD og DC; og ^FDC 
er lig Z^ EAB, nemlig den udvendige lig den 
indvendige; altsaa er Grundlinie EB lig Grund- 
linie FC ; og A EAB vil være lig A DFC. Lad 
den fælles DGE være trukken fra, saa er Resten 
Firkant ABGD lig Resten Firkant EGCF. Lad 
^GBC være lagt til dem begge, saa er hele 
OJ ABCD lig hele OJ EBCF. 

Altsaa: Parallelogrammer paa samme Grund- 



4* 



52 

linie og mellem de samme Paralfeler ere lige- 
store; h. s. b. 

36- 

Par dllelogr ammer paa ligestore Grundlinier 
og mellem de samme Paralleler ere ligestore. 

Lad ABCD og EFGH være Parallelo- 
grammer paa ligestore Grundlinier BC og FG 




og mellem de samme Paralleler AH og BG. 
Jeg siger da: O ABCD = O EFGH. 

Lad nemlig BE og CH være drap^ne. 

Da nu BC er lig FG, men FG er lig EH, saa er 
ogsaa BC = EH. Desuden ere de parallele, 
og EB ogHC forbinde dan. Men rette Linier, 
som forbinde de til hinanden svarende Ende- 
punkter af ligestore og parallele rette Linier, ere 
ligestore og parallele. Altsaa er EBCH et Pa- 
rallelogram. Og det er lig n ABCD ; thi de 



53 

have samme Grundlinie BC og ligge mellem de 
samme Paralleler BC og AH. Af samme Grund 
er ogsaa [Z] EFGH = [Z] EBCH. Følgelig er 
^^ABCD = £17 EFGH. 

Altsaa: Parallelogrammer paa ligestore 
Grundlinier og mellem de samme Paralleler ere 
ligestore; h. s. b. 

37. 
Trekanter paa samme Grundlinie og mellem 

de samme Paralleler ere ligestore. 

Lad ABC og DBC være Trekanter paa 
samme Grundlinie BC og mellem de samme 
Paralleler AD og BC. Jeg siger da: /\ ABC 
= ADBC. 

Lad AD være forlænget til begge Sider til E 
og F, lad BE være trukken gennem B parallel med 
CA, og lad CF være trukken gennem C parallel 
med BD. 

Saa ere EBCA og DBCF Parallelogrammer ; 
og de ere ligestore, thi de ligge paa samme Grund- 
linie BC og mellem 

de samme Paral- ^. 4 

leler BC og EF. 
Men A ABC er 

Halvdelen af 
2C7EBCA,thiDia- 




54 

gonalAB halverer det; og /\ DBC er Halvdelen 
af OJ DBCF, thi Diagonal DC halverer det ; 
altsaa er A ABC = A DBC. 

Altsaa: Trekanter paa samme Grundlinie 
og mellem de samme Paralleler ere ligestore; 
h. s. b. 

38. 

Trekanter paa ligestore Grundlinier og 
mellem de samme Paralleler ere ligestore. 

Lad ABC og DEF være Trekanter paa 
ligestore Grundlinier BC og EF og mellem de 
samme Paralleler BF og AD. Jeg siger da: 
AABC = ADEF. 

Lad nemlig AD være forlænget til begge 
Sider til G og H, lad BG være trukken gennem 
B parallel med CA, og lad FH være trukken 
gennem F parallel med ED. 

Saa ere baade GBCA og DEFH Parallelo- 
grammer; og^^ GBCA er lig O DEFH ; thi de 

ligge paa ligestore 
Grundlinier BC og 
EF og mellem de 
samme Paralleler BF 
ogGH. MenAABC 

er Halvdelen af 
O GBCA, thi Dia- 




55 

gonal AB halverer det; og /\ FED er Halv- 
delen af [Z/ DEFH, thi Diagonal DF halverer 
det; altsaa er ^ABC = ^DEF. 

Altsaa : Trekanter paa ligestore Grundlinier 
og mellem de samme Paralleler ere ligestore; 
h. s. b. 



39. 

Ligestore Trekanter paa samme Grundlinie 
og paa samme Side ligge ogsaa mellem de samme 
Paralleler. 

Lad ABC og DBC være ligestore Trekanter 
paa samme Grundlinie BC og paa samme Side 
af BC. Jeg siger da, at de ogsaa ligge mellem 
de samme Paralleler. 

Lad nemlig AD være dragen. Jeg siger 
da, at AD er parallel med BC. 

Thi, hvis ikke, saa lad AE være trukken 
. gennem Punkt A parallel med den rette Linie 
BC, og lad EC være dragen. 

Saa er l\ ABC 
= A EBC; thi ^ 

de ligge paa 
samme Grund- 
linie BC og mel- 
lem de samme 




56 

Paralleler. Men/\ABC er ogsaalig ADBC. Alt- 
saa er /\ DBC = ^ EBC, en større lig en 
mindre ; hvilket er umuligt. Altsaa er AE ikke pa- 
rallel med BC. Paa samme Maade ville vi kunne 
bevise, at heller ikke nogen anden er det und- 
tagen AD. Altsaa er AD parallel med BC. 

Altsaa: ligestore Trekanter paa samme 
Grundlinie og paa samme Side ligge ogsaa 
mellem de samme Paralleler; h. s. b. 

40. 

Ligestore Trekanter paa ligestore Gruyid- 
linier og paa samme Side ligge ogsaa m.ellem^ 
de samme Paralleler. 

Lad ABC og DCE være ligestore Trekanter 
paa ligestore Grundlinier BC og CE og paa 
samme Side. Jeg siger da, at de ogsaa ligge 
mellem de samme Paralleler. 

Lad nemlig AD være dragen. Jeg siger da, 
at AD er parallel med BC. 

Thi, hvis ikke, saa lad AF være trukken 
gennem A parallel med BE, og lad FE være 
dragen. 

Saa er A ABC = C\ FCE; thi de 
l^SS^ P3^ ligestore Grundlinier BC og CE og 
mellem de samme Paralleler BE og AF. Men 
A ABC er ogsaa lig A DCE. Altsaa er l\ DCE 



57 

= /\FCE, en større lig en mindre; hvilket er 
umuligt. Altsaa er AF ikke parallel med BE. 
Paa samme Maade ville vi kunne bevise, at 




heller ikke nogen anden er det undtagen AD. 
Altsaa er AD parallel med BE. 

Altsaa: ligestore Trekanter paa ligestore 
Grundlinier og paa samme Side ligge ogsaa 
mellem de samme Paralleler; h. s. b. 

41. 

Naar et Parallelogram har samme Grund- 
linie som en Trekant og ligger mellem, de samme 
Paralleler, er Parallelogrammet dobbelt saa stort 
som. Trekanten. 

Lad nemlig /~7 ABCD have samme Grund- 
linie som l\ EBC, nemlig BC, og ligge mellem 
de samme Paralleler BC og AE. Jeg siger da: 
O ABCD = 2ABEC. 

Lad AC være dragen. 



58 

Saaer^ABC = /^EBC; thi de ligge paa 
samme Grundlinie BC og mellem de samme Paral- 
leler BC og AE. Men /I7ABCD er lig 2 /\ ABC ; 




thi Diagonal AC halverer det. Følgelig er ogsaa 
OABCD = 2AEBC. 

Altsaa: naar et Parallelogram har samme 
Grundlinie som en Trekant og ligger mellem de 
samme Paralleler, er Parallelogrammet dobbelt 
saa stort som Trekanten; h. s. b. 

42. 

At konstruere et Parallelogram lig en given 
Trekant og med en given retlinet Vinkel, 

Lad ABC være den givne Trekant og D 
den givne retlinede Vinkel. Man skal da kon- 
struere et Parallelogram lig /\ ABC og med den 
retlinede Vinkel D. 

Lad BC være halveret i E, lad AE være 
dragen, lad ^ CEF = -^ D være konstrueret 



59 

ved den rette Linie EC og Punkt E paa den, lad 
AG være trukken gennem A parallel med EC, og 
lad CG være trukken gennem C parallel med EF. 

Saa er FECG et Parallelogram. Da nu 
BE er lig EC, er /\ ABE = /\ AEC; thi 
de ligge paa ligestore Grundlinier BE og EC 
og mellem de samme Paralleler BC og AG. 
Altsaa er /\ ABC 
= 2/\ AEC. Men 
r^ FECG er ogsaa 
Ug 2 A AEC; thi 
de have samme 
Grundlinie og ligge 
mellem de samme 

Paralleler. Altsaa er O FECG = A ABC. 
Og det har Vinkelen CEF lig den givne Vinkel D. 

Altsaa er der konstrueret Parallelogrammet 
FECG lig den givne Trekant ABC og med 
^ CEF, som er lig D; h. s. g. 

43- 
/ ethvert Parallelogram ere Udfyldnings- 

figurerne til Par alle logr ammerne omkring Dia- 
gonalen ligestore. 

Lad ABCD være et Parallelogram og AC 
dets Diagonal, lad EG og FH være Parallelo- 
grammer omkring AC, og BI og ID de saa- 




6o 

kaldte Udfyldningsfigurer. Jeg siger da, atUd- 
fyldningsfigur BI er lig Udfyldningsfigur ID. 

Thi da ABCD er et Parallelogram og AC 
dets Diagonal, er A ABC = /\ ACD. Da 
endvidere EG er et Parallelogram, og AI dets 
Diagonal, er /\ AEI = /\ AGI. Af samme 
Grund er A IFC = A IHC. Da nu A AEI 
er lig A AGI, og A IFC er lig A IHC, saa 
er A AEI + AIHC = A AGI + A IFC; 




desuden er hele A ABC lig hele A ADC ; alt- 
saa er Resten Udfyldningsfigur BI lig Resten 
Udfyldningsfigur ID. 

Altsaa: i ethvert Parallelogram ere Udfyld- 
ningsfigurerne til Parallelogrammerne omkring 
Diagonalen ligestore; h. s. b. 

44- 

Langs en given ret Linie at lægge et Pa- 
rallelogram lig en given Trekant og med en 
given retlinet Vinkel, 



6i 



Lad AB være den givne rette Linie, C den 
givne Trekant og D den givne retlinede Vinkel. 
Man skal da langs den givne rette Linie AB lægge 
et Parallelogram lig den givne Trekant C og 
med en Vinkel lig D. 

Lad /"^BEFG være tegnet lig A C og 
med A. EBG, som er lig D, og lad det være 
lagt, saa at BE og AB ligge i Forlængelse af 




hinanden, lad FG være fortsat til H, lad AH 
være trukken gennem A parallel medBG eller 
EF, og ladHB være dragen. 

Da nu den rette Linie HF har skaaret Paralle- 
lerae AH og EF, saa er Z. AHF + Z, HFE lig to 
rette. Altsaa er Z BHG + Z GFE mindre end 
to rette. Men rette Linier mødes, naar de forlænges 
ubegrænset fra Vinkler, der tilsammen ere mindre 
end to rette. Altsaa ville HB og FE mødes, 



62 

naar de forlænges. Lad dem være forlængede 
og mødes i I, lad IK være trukken gennem 
Punkt I parallel med EA eller FH, og lad HA og 
GB være forlængede til Punkterne K og L. 
Saa er HKIF et Parallelogram, HI dets Diagonal, 
AG og LE Parallelogrammer omkring HI, og 
KB og BF de saakaldte Udfyldningsfigurer. 
Altsaa er KB = BF. Men BF er lig /\ C. 
Altsaa er ogsaa KB = C. Og da ^ GBE er 
lig ^ ABL, og ^ GBE er lig D, saa er ^ ABL 

Altsaa er der langs den givne rette Linie 
AB lagt Parallelogrammet KB lig den givne 
Trekant C og med -^ ABL, som er lig D; h. s. g. 



45. 

At konstruere et Parallelogram lig en given 
retlinet Figur og med en given retlinet Vinkel. 

Lad ABCD være den givne retlinede Figur 
og E den givne retlinede Vinkel. Man skal da 
konstruere et Parallelogram lig den retlinede 
Figur ABCD og med den givne Vinkel E. 

Lad DB være dragen, og lad der være 
konstrueret et Parallelogram FH = /\ ABD og 
med Z- HIF, som er lig E, og lad der langs 



63 



den rette Linie GH være lagt et Parallelogram 
GL = /\ DBC og med ^ GHL, som er lig E. 
Da nu zl E baade er lig ^ HIF og Zl GHL, 
saa er ^ HIF = ^ GHL. Lad zl IHG være lagt 
til dem begge, saa er ^ FIH + zl IHG = 
^ IHG + ^ GHL. Men ^ FIH + ^ IHG 
er lig to rette. Altsaa er ^ IHG + ^ GHL 
ogsaa lig to rette. Da ere de to rette Linier 
IH og HL tegnede ud fra en ret Linie GH og 




et Punkt Hpaa den til hver sin Side, saa at Vink- 
lerne ved Siden af hinanden tilsammen ere lig 
to rette. Altsaa ligge IH og HL i Forlængelse 
af hinanden. Da nu den rette Linie HG har 
skaaret IL og FG, ere Vekselvinkleme LHG 
og HGF ligestore. Lad Zl HGK være lagt til 
dem begge, saa er zl LHG + ^ HGK = 
^ HGF + ^ HGK. Men ^ LHG + ^ HGK 
er lig to rette. Altsaa er Z. HGF + Z. HGK 
ogsaa lig to rette. Altsaa ligge FG og GK i 



64 

Forlængelse af hinanden. Da nu IF er lig og 
parallel med HG, og HG er lig og parallel med 
LK, saa er IF lig og parallel med LK; og de 
rette Linier IL og FK forbinde deres til hin- 
anden svarende Endepunkter; altsaa ere ogsaa 
IL og FK ligestore og parallele. Altsaa er 
IFKL et Parallelogram. Da nu /\ ABD er lig 
/~7 FH, og /\ DBC er lig GL, saa er hele den 
retlinede Figur ABCD lig hele O IFKL. 

Altsaa er der konstrueret Parallelogrammet 
IFKL lig den givne retlinede Figur og med 
-^FIL, som er lig den givne Vinkel E; h. s. g. 



46. 

At tegne et Kvadrat paa en given ret Linie, 
Lad AB være den givne rette Linie. Man 
skal da tegne et Kvadrat paa den givne rette 
Linie AB. 

Lad AC være oprejst fra Punkt A paa den 
rette Linie AB vinkelret paa AB, og lad AD 
være afsat lig AB; lad DE være trukken gennem 
Punkt D parallel med AB, og lad BE være 
trukken gennem Punkt B parallel med AD. Saa 
er ADEB et Parallelogram. Altsaa er AB = 



65 



DE og AD = BE. Men AB er lig AD; 

altsaa ere de fire BA, AD, DE og EB 

ligestore. Altsaa er /~~7 ADEB ligesidet. Jeg 

siger da, at det ogsaa er retvinklet. Thi da 

den rette Linie AD har skaaret Parallelerne AB 

og DE, saa er Z. BAD + Z. ADE 

lig to rette. Men Zl BAD er 

ret. Altsaa er Z ADE ogsaa 

ret. Nu ere i et Parallelogram 

de modstaaende Sider og Vinkler 

indbyrdes ligestore. Altsaa ere 

ogsaa begge de modstaaende 

Vinkler ABE og BED rette. 

Altsaa er CJ ADEB retvinklet. 

Desuden blev det bevist, at det er ligesidet. 

Altsaa er det et Kvadrat, og det er tegnet 
paa den rette Linie AB; h. s. g. 




47. 

/ en retvinklet Trekant er Kvadratet paa 
den Side, der ligger overfor den rette Vinkel, 
lig Summen af Kvadraterne paa de Sider, der 
indeslutte den rette Vinkel. 

Lad ABC være en retvinklet Trekant, hvor 

5 



66 



BAC er ret. Jeg siger da, at □ BC er lig^ 
DBA + DAC. 

Lad der nemlig paa BC være tegnet et 
Kvadrat BDEC og paa BA og AC Kvadra- 
terne GB ogHC, lad AK være trukken gennem 
A parallel med BD eller CE, og lad AD og^ 
FC være dragne. 

Da nu begge Vinklerne BAC og BAG 
ere rette, saa ere de to rette Linier AC og 
AG tegnede ud fra et Punkt A paa en ret 
Linie AB til hver sin Side, saa at Vinklerne ved 

Siden af hinan- 
den ere lig ta 
rette. Altsaa 

ligge AC og AG 
i Forlængelse af 
hinanden. Af 
samme Grund 
ligge ogsaa BA 
og AH i Forlæn- 
gelse af hinanden. 
Nu er Z. DBC 
= Z. FBA; thi 
de ere begge 
rette. Lad Z ABC være lagt til dem begge, 
saa er hele Z DBA lig hele Z. FBC. Da nu 




67 

DB er lig BC, og FB er lig BA, saa ere de to 
Sider DB og BA parvis lig de to Sider CB og 
BF ; og ^ DBA er lig Z. FBC ; altsaa er Grund- 
linie AD lig Grundlinie FC; og A ABD er lig 
AFBC. Men /I7BK er lig 2 AABD ; thi de have 
samme Grundlinie BD og ligge mellem de 
samme Paralleler BD og AK; og Kvadrat 
GB er lig 2 A FBC, thi de have samme 
Grundlinie FB og ligge mellem de samme 
Paralleler FB og GC; altsaa er/~7BK lig Kva- 
drat GB. Paa samme Maade vil man ved at 
drage AE og BI kunne bevise, at A~7CK er 
lig Kvadrat HC. Altsaa er hele Kvadrat BDEC 
lig Summen af de to Kvadrater GB og HC. 
Men BDEC er Q BC, GB . og HC ere Q BA 
og □ AC. Altsaa er Q BC = QBA + 
DAC. 

Altsaa : i en retvinklet Trekant er Kvadratet 
paa den Side, der ligger overfor den rette Vinkel, 
lig Summen af Kvadraterne paa de Sider, der 
indeslutte den rette Vinkel; h. s. b. 



48. 

Naar Kvadratet paa en af Siderne i en 
Trekant er lig Summen af Kvadraterne paa 



68 



Trekantens to andre Sider, er den Vinkel, der 
indesluttes af Trekantens to andre Sider, ret. 

Lad nemlig Kvadratet paa en af Siderne 
BC i A ABC være lig Summen af Kvadraterne 
paa Siderne BA og AC. Jeg siger da, at Zl BAC 
er ret. 

Lad nemlig AD være oprejst fra Punkt A 
vinkelret paa den rette Linie AC, lad AD 
være afsat lig BA, og lad DC være dragen. 
Da nu DA er lig AB, er ogsaa □ DA = 
□ AB. Lad □ AC være lagt til dem begge, 
saa er □ DA + n AC = D BA + □ AC. 
Men □ DC er lig D DA + □ AC, thi 

^DAC er ret; og D BC 
er lig D BA + n AC, 
thi det er givet; altsaa er 
□ DC = n BC. Følge- 
lig er Side DC ogsaa lig 
Side BC. Da tillige DA 
er lig AB, og AC er 
fælles, saa ere de to Sider 
DA og AC lig de to 
Sider BA og AC; og Grundlinie DC er lig 
Grundlinie BC; altsaa er Z. DAC = Zl BAC. 
Men Z, DAC er ret. Altsaa er Z. BAC 
ogsaa ret. 




69 

Altsaa: naar Kvadratet paa en af Siderne 
i en Trekant er lig Summen af Kvadraterne 
paa Trekantens to andre Sider, er den Vinkel, 
der indesluttes af Trekantens to andre Sider, 
ret; h. s. b. 



II. 

Definitioner. 



1. Ethvert Rektangel siges at indesluttes 
af to af de rette Linier, der indeslutte den 
rette Vinkel. 

2. I ethvert Parallelogram kan man kalde 
et hvilketsomhelst af Parallelogrammerne om- 
kring dets Diagonal sammen med de to Ud- 
fyldningsfigurer for en Gnomon. 

I. 

Naar man har to rette Linier^ og den ene 
af dem er delt i et vilkaarligt Antal Stykker, 
er det Rektangel, der indesluttes af de to rette 
Linier y lig Summen af de Rektangler , der inde- 
sluttes af den udelte rette Linie og hvert af 
Stykkerne. 



71 



Lad A og BC være de to rette Linier, og 
lad BC være delt vilkaarligt i Punkterne D og 
E. Jeg siger da: □ A, BC = | | A, BD + 
□ A, DE + nA, EC.*) 



Lad nemlig BF være oprejst fraB vinkelret l. u 
paa BC ; lad BG være afsat lig A, lad GH være 
trukken gennem G parallel medBC, og lad DI, I. 31 
EK og CH være trukne 
gennem D, E og C ^ 

parallele med BG. 

Da er BH = BI 
+ DK + EH. Men 
BH er □ A, BC, thi 



det indesluttes af GB 
og BC, og BG er lig 
A; BI er □ A, BD, 




thi det indesluttes af GB og BD, og BG er 
lig A; DK er n A, DE, thi DI, det vil 
sige BG, er lig A; endelig faas paa sammel. 34 
Maade, at EH er □ A, EC. Altsaa er □ A, BC 
= □ A, BD + □ A, DE + n A, EC. 

Altsaa: naar man har to rette Linier, og 
den ene af dem er delt i et vilkaarligt Antal 
Stykker, er det Rektangel, der indesluttes af de 
to rette Linier, lig Summen af de Rektangler, 



*) (a + b + c) d = ad + bd + cd. 



72 



I. 46 



1. 31 



der indesluttes af den udelte rette Linie og 
hvert af Stykkerne; h. s. b. 

2. 
Naar en ret Linie er delt vilkaarligt^ er 
Summen af de Rektangler, der indesluttes af hele 
Linien og hvert af Stykkerne^ lig Kvadratet paa 
hele Linien, 

Lad nemlig den rette Linie AB være delt 
vilkaarligt i Punktet C. Jeg siger da : | | AB, BC 
+ □BA,AC = DAB.*) 

Lad der nemlig paa AB være tegnet et 

Kvadrat ADEB, og lad CF 
være trukken gennem C pa- 
rallel med AD eller BE. 

Da er AE = AF + CE. 

Men AE er Q AB; AF er 

BA, AC, thi det indesluttes 




I. Def. 22 



af DA og AC, og DA er lig 
AB; og CE er □ AB, BC, thi BE er lig AB. 
Altsaa er □ BA, AC + □ AB, BC = □ AB. 



Altsaa: naar en ret Linie er delt vilkaar- 
ligt, er Summen af de Rektangler, der indesluttes 
af hele Linien og hvert af Stykkerne, lig Kva- 
dratet paa hele Linien; h. s. b. 



•) (a + b) a + (a + b) b = (a + b)«. 



73 



3. 

Naar en ret Linie er delt vilkaarligt, er 
det Rektangel, der indesluttes af hele Linien og 
et af Stykkerne^ lig Summen af Kvadratet paa 
Stykket og det Rektangel, der indesluttes af 
Stykkerne, 

Lad nemlig den rette Linie AB være delt 
vilkaarligt i C. Jeg siger da: | | AB, BC = 
□ AC,CB + DBC.*) 

Lad der nemlig paa CB være tegnet etl. 46 
Kvadrat CDEB, lad ED være fortsat til F, og 
lad AF være trukken 

gennem A parallel med å r ^ l- 3' 

CD eller BE. 

Da er AE = AD 
-h CE. Men AE er 

AB, BC, thi det inde- 




sluttes af AB og BE, og 
BE er lig BC; AD er 



AC, CB, thi DC er 
lig CB ; og DB er Q CB. Altsaa er □ AB,BC 



= QACCB + DBC. 

Altsaa: naar en ret Linie er delt vilkaarligt, 
er det Rektangel, der indesluttes af hele Linien 
og et af Stykkerne, lig Summen af Kvadratet 



*) (a + b) b = ab + b«. 



74 

paa Stykket og det Rektangel, der indesluttes 
af Stykkerne ; h. s. b. 



Naar en ret Linie er delt vilkaarligt^ er 
Kvadratet paa hele Linien lig Summen af Kva- 
draterne paa Stykkerne og to Gange det Rekt- 
angel, der indesluttes af Stykkerne, 

Lad nemlig den rette Linie AB være delt 
vilkaarligt i C. Jeg siger da: QAB = QAC 
+ QCB + 2nAC,CB.*) 



Lad der nemlig paa AB være tegnet et 

Kvadrat ADEB, lad BD være dragen, lad CF 

I. 30— 3 1 være trukken gennem C parallel med AD eller 

EB, og lad HI være trukken gennem G parallel 

med AB eller DE. 

Da nu CF er parallel med AD, og BD har 
I. 29 skaaret dem, er den udvendige Vinkel CGB lig den 

indvendige og modstaaende 
Vinkel ADB; og ^ ADB er lig 
Z. ABD, fordi Side BA er lig 
Side AD; altsaa er Z. CGB 
= Z. GBC ; følgelig er Side 
BC lig Side CG. Men CB 
I. 34 ^ ^ ^ er lig GI; og CG er lig IB; 



I. 5 



I. 6 




•) (a + b)2 = a« + b2 -f 2ab. 



75 

altsaa er GI = IB. Altsaa er CGIB ligesidet. 
Knd videre siger jeg, at den ogsaa er retvinklet. 
Thi da CG er parallel med BI, saa er ^IBC 
-h ^ GCB lig to rette ; og A. IBC er ret ; altsaa i. 29 
er ^ BCG ogsaa ret; følgelig ere de modstaaende 
Vinkler CGI og GIB ogsaa rette. Altsaa er I. 34 
CGIB retvinklet. Men det blev ogsaa bevist, 
at den er ligesidet. Altsaa er den et Kvadrat; 
og den er □ CB. Af samme Grund er HF 
ogsaa et Kvadrat; og den er □ HG, det vil I. 34 
sige □ AC. Altsaa ere HF og IC □ AC og 
n CB. Og da AG er lig GE, og AG er I. 43 
I I AC, CB, thi GC er lig CB, saa er GE = 
I I AC, CB. Altsaa er AG + GE = 2 □ AC, CB. 
Desuden ere Kvadraterne HF og CI □ AC og 
n CB. Altsaa ere de fire HF + CI + AG + 
GE = n AC + D CB + 2 □ AC, CB. Men 
HF + CI + AG + GE er hele ADEB, som 
er n AB. Altsaa er n AB = D AC + d CB 
+ 2 I I AC, CB. 

Altsaa: naar en ret Linie er delt vilkaarligt, 
er Kvadratet paa hele Linien lig Summen af 
Kvadraterne paa Stykkerne og to Gange det 
Rektangel, der indesluttes af Stykkerne; h. s. b. 



76 



5. 

Naar en ret Linie er delt i ligestore og i 
uligestore Stykker^ er det Rektangel^ der inde- 
sluttes af hele Liniens uligestore Stykker^ samt 
Kvadratet paa Stykket melletn Delingspunkteme 
lig Kvadratet paa Halvdelen, 

Lad nemlig en ret Linie AB være delt i 
ligestore Stykker i C og i uligestore Stykker i 
D. Jeg siger da: QAD, DB + □ CD = 
D CB.*) 

Lad der nemlig paa CB være tegnet et 
Kvadrat CEFB, lad BE være dragen, lad DG 




være trukken gennem D parallel med CE eller 
BF, lad endvidere IL være trukken gennem H 
parallel med AB eller EF, og lad endelig AI være 
trukken gennem A parallel med CK eller BL. 



•)ab + (i±-^_b\* = ( 



a + b\2 



77 

Nu er Udfyldningsfigur CH lig Udfyldnings- 
figur HF; lad saaDL være lagt til dem begge, 
saa er hele CL lig hele DF. Men CL er lig 
AK, fordi AC er lig CB. Altsaa er AK = DF. 
Lad CH være lagt til dem begge, saa er hele 
AH lig Gnomon MNO. Men AH er □ AD, DB, 
thi DH er lig DB; altsaa er Gnomon MNO = 
^ AD, DB. Lad KG, som er lig □ CD, være 



lagt til dem begge, saa er Gnomon MNO + 
KG = □ AD, DB + D CD. Men Gnomon 
MNO + KG er hele Kvadratet CEFB, som er 
n CB. Altsaa er □ AD, DB + Q CD = 
DCB. 

Altsaa: naar en ret Linie er delt i ligestore 
og i uligestore Stykker, er det Rektangel, der 
indesluttes af hele Liniens uligestore Stykker, 
samt Kvadratet paa Stykket mellem Delings- 
punkterne lig Kvadratet paa Halvdelen ; h. s. b. 

6. 

Naar en ret Linie er halveret^ og en anden 
ret Linie er afsat i Forlængelse af den^ saa er 
det Rektangel, der indesluttes af hele Linien 
med dens Forlængelse og Forlængelsen^ samt 
Kvadratet paa Halvdelen lig Kvadratet paa den 



78 



rette Linie ^ der er sammensat af Halvdelen og 
Forlængelsen, 

Lad nemlig en ret Linie være halveret i 
Punktet C, og lad en ret Linie BD være afsat 
i Forlængelse af den. Jeg siger da: | | AD, DB 
+ DCB = DCD.*) 

Lad der nemlig paa CD være tegnet et 
Kvadrat CEFD, lad DE være dragen, lad BG 
være trukken gennem Punkt B parallel med EC 
eller DF, lad IL være trukken gennem Punkt 
H parallel med AB eller EF, og lad endelig AI 

være trukken gennem 
A parallel med CK 
eller DL. 

Da nu AC er lig 
CB, er AK = CH ; og 
CH er lig HF ; AK er 
altsaa ogsaa lig HF. 
Lad CL være lagt til dem begge, saa er hele AL 
lig Gnomon MNO. Men AL er □ AD, DB, 
thi DL er lig DB, altsaa er Gnomon MNO = 
I I AD, DB. Lad KG, som er lig □ BC, være 

AD, DB + D CB 




lagt til dem begge, saa er 

= Gnomon MNO + KG. Men Gnomon MNO 



•) 



(^-^^)^+(T)^=(T+r. 



79 

4- KG er hele Kvadratet CEFD, som er □ CD. 

Altsaa er □ AD, DB + D CB = Q CD. 

Altsaa: naar en ret Linie er halveret, og 
en anden ret Linie er afsat i Forlængelse af den, 
saa er det Rektangel, der indesluttes af hele 
Linien med dens Forlængelse og Forlængelsen, 
samt Kvadratet paa Halvdelen lig Kvadratet 
paa den rette Linie, der er sammensat af Halv- 
delen og Forlængelsen; h. s. b. 

7. 

Naar en ret Linie er delt vilkaarligt^ er 
Summen af Kvadraterne paa hele Linien og paa 
det ene Stykke lig Summen af to Gange det 
Rektangel, der indesluttes af hele Linien og 
Stykkety og Kvadratet paa det andet Stykke. 

Lad nemlig en ret Linie AB være delt vil- 
kaarligt i Punktet C. Jeg siger da: □ AB + 
DBC = 2nAB,BC + DCA.*) 

Lad der nemlig paa AB være tegnet et 
Kvadrat ADEB, og lad Figuren være tegnet. 

Nu er AG = GE; lad saa CF være lagt til 
dem begge, saa er hele AF lig hele CE. Altsaa 
er AF + CE dobbelt saa stor som AF. Men 
AF + CE er Gnomon IKL + CF ; altsaa er 



*) (a + b)« + b« = 2 (a +b) '*. b-f- a 



80 

Gnomon IKL + CF dobbelt saa stor som AF. 
Men det dobbelte af AF er 2 



AB,BC, thi 
BF er lig BC ; altsaa er Gnomon IKL + CF = 
AB, BC. Lad DG, som er □ AC, være 



lagt til dem begge, saa er Gnomon IKL + BG 

+ GD = 2 1 |AB,BC + 




□ AC. Men Gnomon IKL 
+ BG + GD er hele Kva- 
dratet ADEB + CF, hvilket 

er □ AB 4- □ BC. Altsaa 

er □ AB + □ BC = 
AB,BC + QAC. 



Altsaa : naar en ret Linie er delt vilkaarligt, 
er Summen af Kvadraterne paa hele Linien og 
paa det ene Stykke lig Summen, af to Gange 
det Rektangel, der indesluttes af hele Linien og 
Stykket, og Kvadratet paa det andet Stykke ; 
h. s. b. * 



8. 

Naar en ret Lvtie er delt vilkaarligt^ er 
fire Gange det Rektangel^ der indesluttes af hele 
Linien og et af Stykkerne samt Kvadratet paa 
det andet Stykke lig det Kvadrat^ der er tegnet 
paa hele Linien og det først( Stykke ud i eet. 



8i 



Lad nemlig en ret Linie AB være delt vil- 
kaarligt i Punktet C. Jeg siger da: 4 1 | AB, BC 



+ □ AC er lig det Kvadrat, der er tegnet paa 
AB, BC ud i eet. *) 

Lad nemlig BD være afsat i Forlængelse 
af AB, lad BD være afsat lig CB, lad der paa 
AD være tegnet et Kvadrat AEFD, og lad 
Figuren være 

tegnet dobbelt. ^ ^ ^ ^ 

Da nu CB er 
lig BD, men CB 
er lig GI, ogBD 
er lig IM, saaer 
GI = IM. Af 
samme Grund er 
PQ = QO. Og 
da BC er lig BD, 

og GI er lig IM, saa er CI = ID, og GQ = 
QM ; men CI er lig QM, thi de ere Udfyldnings- 
figurer i Parallelogram CO; altsaa er ogsaa ID 
= GQ. Altsaa ere de fire DI, CI, GQ og QM 
ligestore. Altsaa ere de fire tilsammen det fir- 
dobbelte af CI. Da endvidere CB er lig BD, 
og BD er lig BI, det vil sige CG, ogCB er lig 
GI, det vil sige GP, saa er CG = GP. Og da 





• 


<.--■*•* 


y 




I 


/c 


/ 


A 


M 


1 


y 


\ 






1 


/ 


\ 






\ 


/ 


1 




^ 


R 


/ 


t 







P 


^'' 




/ 


^-7" 







K 



*) 4 (a + b) b -f a« = (a + 2^^*. 



82 

CG er lig GP, og PQ er lig QO, er AG = LP, 
og PK = QF; men LP er lig PK, thi de ere 
Udfyldningsfigurer i Parallelogram LK; altsaa 
er ogsaa AG = QF. Altsaa ere de fire AG, 
LP, PK ogQF ligestore. Altsaa er de fire til- 
sammen det firdobbelte af AG. Nu blev det 
ogsaa bevist, at de fire CI, ID, GQ og QM til- 
sammen er det firdobbelte af CI. Altsaa ere de 
otte, som tilsammen danne Gnomon RST, det 
firdobbelte af AI. Og da AI er □ AB, BD, 
thi BI er lig BD, saa er 4QAB, BD det fir- 
dobbelte af AI ; men det blev ogsaa bevist, at 
Gnomon RST er det firdobbelte af AI; altsaa 
er 4 □ AB, BD = Gnomon RST. Lad NH, 
som er lig □ AC, være lagt til dem begge, saa 
er 4 □ AB, BD + n AC ^ Gnomon RST + 
NH. Men Gnomon RST -f-> NH er hele Kvadra- 
tet AEFD, som er □ AD ; altsaa er 4 □ AB, BD 
+ □ AC = n AD. Men BD er lig BC. Altsaa 
er 4 □ AB, BC + Q AC -:= □ AD, det vil sige 
det Kvadrat, der er tegnet oaa AB og BC ud 
i eet. 

Altsaa : naar en ret Linie er delt vilkaarligt, 
er fire Gange det Rektangel, der indesluttes af 
hele Linien og et af Stykkerne, samt Kvadratet 
oaa det andet Stykke lig det Kvadrat, der er 



83 

tegnet paa hele Linien og det første Stykke ud 
i eet; h. s. b. 

9- 

Naar en ret Linie er delt i ligestore og i 
uligestore Stykker y er Summen af Kvadraterne 
paa hele Liniens uligestore Stykker dobbelt saa 
stor som Summen af Kvadraterne paa Halvdelen 
og paa Stykket mellem Delingspunkteme, 

Lad nemlig en ret Linie AB være delt i 
ligestore Stykker i C og i uligestore Stykker i 
D. Jeg siger da: □ AD + □ DB = 2 □ AC 
+ 2nCD.*) 

Lad nemlig, CE være oprejst fra C vinkel- 
ret paa AB, lad den være afsat lig baade AC 
og CB, lad EA og EB være dragne, lad DF 
være trukken gennem D parallel med EC, FG 
gennem F parallel med AB, og lad AF være 
dragen. 

Da nu AC er lig CE, er ^ EAC = Z. AEC. 
Og da Vinkelen ved C er ret, saa ere de andre 
Vinkler EAC og AEC tilsammen lig een ret; 
og de ere ligestore ; hver af Vinklerne CE A og 
CAE er altsaa en halv ret. Af samme Grund 



*)a»+b*=2(i±^r+.(i±^-by 



84 



er da ogsaa hver af Vinklerne CEB og EBC 
en halv ret. Altsaaerhele ^AEB ret. Og da 
^ GEF er en halv ret, og A. EGF er ret, thi den er 
lig den indvendige og modstaaende Vinkel ECB, 
saa er den tredje Vinkel EFG en halv ret; 
altsaa er ^ GEF = ^ EFG; følgelig er Side 
EG lig Side GF. Da endvidere Vinkelen ved B er 
en halv ret, og -«^FDB er ret, thi den er lig 
den indvendige og modstaaende Vinkel ECB, 

saa er den tredje Vin- 
kel BFD en halv ret. 
Altsaa er Vinkelen 
ved B = ^ DFB; 
følgelig er Side FD 
lig Side DB. 

Da nu AC er lig CE, 
er n AC = n CE; altsaa er □ AC + D CE = 
2 n AC. Men D AE er lig Q AC + D CE, 
thi ^ ACE er ret; altsaa er □ E A = 2 □ AC. 
Da endvidere EG er lig GF, er □ EG = □ GF ; 
altsaa er Q EG + D GF = 2 Q GF. Men 
DEF er lig QEG + QGF; altsaa er Q EF 
= 2 n GF. Nu er GF lig CD ; altsaa er □ EF 
= 2n CD. Desuden er □ EA = 2\J,hfZ\ 
altsaa er □ AE + D EF = 2 □ AC + 2 □ CD. 
Nu er n AF = n AE + D EF, thi Z. AEF 




85 

er ret; altsaa er QAF = 2nAC + 2GCD. 
Men n AD + n DF er lig □ AF, thi Vinkelen 
ved D er ret; altsaa er □ AD + □ DF = 
2 □ AC + 2 n CD. Nu er DF lig DB; altsaa 
er n AD + Q DB = 2 Q AC + 2 Q CD. 

Altsaa: naar en ret Linie er delt i ligestore 
og i uligestore Stykker, er Summen af Kvadra- 
terne paa hele Liniens uligestore Stykker dobbelt 
saa stor som Summen af Kvadraterne paa Halv- 
delen og paa Stykket mellem Delingspunkterne ; 
h. s. b. 

10. 

Naar en ret Linie er halveret^ og en anden 
ret Linie er afsat i Forlængelse af den^ er 
Summen af Kvadraterne paa hele Linien med 
dens Forlængelse og paa Forlængelsen dobbelt 
saa stor som. Summen af Kvadraterne paa Halv- 
delen og paa den rette Linie, der er sammensat 
af Halvdelen og Forlængelsen ud i eet. 

Lad nemlig en ret Linie AB være halveret 
i Punktet C, og lad en ret Linie BD være afsat 
i Forlængelse af den. Jeg siger da : □ AD + 
QDB = 2DAC + 2nCD.*) 



*) (a 4- b)« + b« = 2 [^ +^ (y + ^ 



86 



I.F.5 



Lad nemlig CE være oprejst fra C vinkelret 
paa AB, lad den være afsat lig baade CA og 
CB, og lad EA og EB være dragne; lad EF 
være trukken gennem E parallel med AD, og 
lad FD være trukken gennem D parallel med CE. 
t)a nu en ret Linie EF har skaaret de parallele 
rette Linier EC og FD, saa er A. CEF + Z. EFD 
lig to rette; altsaa er ^ FEB + A. EFD mindre 
end to rette. Men rette Linier mødes, naar de 

forlænges ud fra Vinkler, 
som ere mindre end to 
rette ; altsaa ville EB og 
FD mødes, naar de for- 
længes til den Side, 
hvor B og D ligge. Lad 
dem være forlængede 
og mødes i G, og lad AG være dragen. 

Da nu AC er lig CE, er Z. EAC = Z AEC ; 
men Vinkelen ved C er ret; altsaa er Z EAC 
og ^AEC hver en halv ret. Af samme Grund 
er ogsaa ^CEB og ^EBC.hver en halv ret; 
altsaa er Z AEB ret. Og da Z EBC er en 
halv ret, saa er Z DBG ogsaa en halv ret. 
Fremdeles er ZL BDG ret, thi den er lig 
Z DCE, fordi de ere Vekselvinkler; altsaa er 
den tredje Vinkel DGB en halv ret. Altsaa er 
'^GB = Z DBG; følgelig er Side BD lig 




87 

Side GD. Da endvidere Z^ EGF er en halv 
ret, og Vinkelen ved F er ret, thi den er lig 
den modstaaende Vinkel ved C, saa er den 
tredje Vinkel FEG en halv ret, altsaa er Z^ EGF 
= ZL FEG; følgelig er Side GF lig Side EF. 

Da nu D EC er lig Q CA, saa er Q EC + 
G CA = 2 D CA. Men □ EA er lig □ EC 
+ n CA; altsaa er □ EA = 2nCA. Da 
endvidere FG er lig EF, er □ FG = □ FE 
altsaa er Q GF + □ FE = 2 Q EF. Men 
n EG er lig D GF + Q FE; altsaa er □ EG 
= 2 □ EF. Nu er EF = CD ; altsaa er □ EG 
= 2 □ CD. Men det blev ogsaa bevist, at 
n EA er lig 2 □ AC. Altsaa er □ AE + 
n EG = 2 n AC + 2 n CD. Men Q AG er 
lig n AE + □ EG. Altsaa er □ AG == 
2 n AC + 2 n CD. Nu er n AG = n AD 
+ □ DG; altsaa er □ AD + □ DG = 2 D AC 
+ 2 n CD. Men DG er lig DB. Altsaa er 
nAD + DDB = 2nAC + 2nCD. 

Altsaa: naar en ret Linie er halveret, og 
en anden ret Linie er afsat i Forlængelse af 
den, er Summen af Kvadraterne paa hele Linien 
med dens Forlængelse og paa Forlængelsen 
dobbelt saa stor som Summen af Kvadraterne 
paa Halvdelen og paa den rette Linie, der er 



88 



sammensat af Halvdelen og Forlængelsen ud i 
eet; h. s. b. 



II. 6 



II. 

At dele en given ret Linie saaledeSy at det 
Rektangel, der indesluttes af hele Linien og det 
ene af Stykkerne^ er lig Kvadratet paa det andet 
Stykke. 

Lad AB være den givne rette Linie. Man 
skal da dele den saaledes, at det Rektangel, der 
indesluttes af hele Linien og det ene af Styk- 
kerne, er lig Kvadratet paa det andet Stykke. 
Lad der nemlig paa AB være tegnet et 
Kvadrat ABDC, lad AC være halveret i Punkt 
E, lad BE være dragen, lad CA være fortsat 
til F, lad EF være afsat lig BE, lad der paa AF 
være tegnet et Kvadrat FH, og lad GH være 

fortsat til L Jeg siger da, 
at AB er delt i H saaledes, at 
I I AB, BH er lig Q AH. 

Thi da den rette Linie 
AC er halveret i E, og FA 
er afsat i Forlængelse af den, 
saa er □ CF, FA + Q AE 




= DEF. Nu erEF = EB; 
altsaa er [""] CF, FA + Q AE 



89 

= □ EB. Men □ BA + Q AE er lig □ EB, 
thi Vinkelen vedA er ret; altsaa er | | CF, FA 
+ □ AE = □ BA + □ AE. Lad det 
fælles Kvadrat paa AE være trukket fra, såa 
er Resten □ CF, F A = Q AB. Men □ CF, FA 
er FI, thi AF er lig FG, og □ AB er AD; 
altsaa er FI = AD. Lad det fælles Rekt- 
angel AI være trukket fra, saa er Resten 
FH = HD. Men HD er QAB, BH, thi AB 
er lig BD ; og FH er Q AH ; altsaa er □ AB, BH 
= DHA. 

Altsaa er den givne rette Linie AB delt i 
H saaledes, at □ AB, BH er lig Q HA; h. s. g. 

12. 

/ en stumpvinklet Trekant er Kvadratet 
paa den Side^ der Hgger overfor den stumpe 
Vinkely større end Summen af Kvadraterne paa 
de Sider, der indeslutte den stumpe Vinkel; og 
Forskellen er to Gange det Rektangel, der inde- 
sluttes af den af Siderne ved den stumpe Vinkel, 
paa hvilken den lodrette fældes^ og det Stykke^ 
der af den lodrette afskæres udenfor ved den 
stumpe Vinkel, 

Lad ABC være en stumpvinklet Trekant, 
hvor ^ BAC er stump, og lad der fra Punkt 



2035 16 



90 

B være nedfældet BD lodret paa den forlængede 
CA. Jeg siger da, at □ BC er større end □ CA 
+ n AB, og at Forskellen er 2 □ CA, AD. 
Thi da den rette Linie CD er delt vilkaar- 
II. 4 ligt i Punkt A, saa er □ DC = Q CA + □ AD 
+ 2 □ CA, AD. Lad □ DB være lagt til dem 
begge, saa er Q CD + □ DB = □ CA + 
QAD + nOB +2QCA,AD. MenCJCB 

er lig D CD + n DB, 
thi Vinkelen ved D er 
er ret; og □ AB er 
lig D AD + DDB; 
altsaa er □ CB = 
n CA + □ AB + 
CA, AD. Følgelig er □ CB større end 




□ CA + n AB, og Forskellen er 2 □ CA, AD. 
Altsaa: i en stumpvinklet Trekant er Kva- 
dratet paa den Side, der ligger overfor den 
stumpe Vinkel, større end Summen af Kva- 
draterne paa de Sider, der indeslutte den 
stumpe Vinkel; og Forskellen er to Gange det 
Rektangel, der indesluttes af den af Siderne ved 
den stumpe Vinkel, paa hvilken den lodrette 
fældes, og det Stykke, der af den lodrette af- 
skæres udenfor ved den stumpe Vinkel; h. s. b. 



91 



13- 

/ en spidsvinklet Trekant er Kvadratet paa 
den Side, der ligger overfor den spidse Vinkel, 
mindre end Summen af Kvadraterne paa de 
Sider, der indeslutte den spidse Vinkel; og For- 
skellen er to Gange det Rektangel^ der inde- 
sluttes af den af Siderne ved den spidse Vinkel^ 
paa hvilken den lodrette fældes^ og det Stykke, 
der af den lodrette afskæres udenfor ved dm 
spidse VinkeL 

Lad ABC være en spidsvinklet Trekant, 
hvor Vinkelen ved B er spids, og lad AD være 
nedfældet fra Punkt A lodret paa BC. Jeg siger 
da, at n AC er mindre end D CB + Q BA, 
og at Forskellen er 2 [~| CB, BD. 



Thi da den rette Linie CB er delt vilkaar- 
ligt i D, saa er □ CB + 

CB, BD + 



IL 7 



n BD = 2 

□ DC. Lad □ DA være 
lagt til dem begge, saa er 

nCB + DBD + QDA 

= 2 □ CB, BD + n AD 

+ □ DC. Men □ AB er 

lig nBD + DDA, thi Vinkelen ved Der ret; 

og □ AC er lig Q AD + D DC; altsaa er 




92 

n CB + □ BA = n AC + 2 □ CB, BD. 
Følgelig er □ AC alene mindre end □ CB + 
□ BA, og Forskellen er 2 □ CB, BD. 

Altsaa: i en spidsvinklet Trekant er Kva- 
dratet paa den Side, der ligger overfor den 
spidse Vinkel, mindre end Summen af Kvadra- 
terne paa de Sider, der indeslutte den spidse 
Vinkel; og Forskellen er to Gange det Rekt- 
angel, der indesluttes af den af Siderne ved den 
spidse Vinkel, paa hvilken Højden fældes, og 
det Stykke, der af den lodrette afskæres udenfor 
ved den spidse Vinkel; h. s. b. 

14. 

At konstruere et Kvadrat lig en given ret- 
linet Figur. 

Lad A være den givne retlinede Figur. 
Man skal da konstruere et Kvadrat lig den ret- 
linede Figur A. 
I. 45 Lad der nemlig være konstrueret et Rekt- 

angel BD lig den retlinede Figur A. Hvis 
BE saa er lig ED, vil det forlangte være 
udført; thi saa er der konstrueret et Kvadrat 
BD lig den retlinede Figur A. Men hvis 
ikke, er en af Siderne BE og ED større end 



93 

den anden. LadBE være størst, lad den være 
forlænget til F, lad EF være afsat lig ED, lad 
BF være halveret i G, lad Halvcirkel BHF være 
tegnet med G som Centrum og GB eller GF 
som Radius, lad DE være forlænget til H, og 
lad GH være dragen. 

Da nu den rette Linie BF er delt i lige- 
store Stykker i G og i uligestore Stykker i E, 




saa er □ BE, EF + □ EG = Q GF. Men ii. 5 
GF er lig GH ; altsaa er □ BE, EF + □ GE 



= DGH. Og QHE + QEG er lig \J GH; 
altsaa er □ BE, EF + □ GE = Q HE + 
□ EG. Lad det fælles Kvadrat paa GE være 
trukket fra, saa er Resten [^ BE, EF = □ EH. 
Men QBE, EF er BD, thi EF er lig ED; 
altsaa er BD = Q HE. Men BD er lig den 
retlinede Figur A. Altsaa er den retlinede 



94 

Figur A ogsaa lig det Kvadrat, som kan tegnes 
paa EH. 

Altsaa er der konstrueret et Kvadrat lig 
den givne retlinede Figur A, nemlig det der 
kan tegnes paa EH; h. s. g. 



^ Cl. 



MAY 1 2 1938 



, . <.•